逆の計算は定義に戻れ:負の数、分数、ルート、対数

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

数学において、負の数、分数、ルート、対数といった内容でつまづく人は少なくありません。

今回は、これらが「逆の計算」であることに注目し、定義に戻って考えることの大切さを紹介しようと思います。

 

負の数

一番最初に出会う逆の計算は、引き算でしょう。

\(7-4=3\)という計算が正しいのは、\(3+4=7\)というたし算が正しいからです。

\(x=6-2\)を計算したければ、\(x+2=6\)となる\(x\)を見つければ良い。たし算の理解があって、はじめてその「逆」として引き算が計算できます。

 

負の数、マイナスの数はこの考え方にもとづいて導入されます。

例えば、\(x=-3\)とはなんでしょうか。それは\(x+3=0\)となる数です。

マイナスのマイナスがプラス\(-(-3)=3\)となるのはなぜかも、たし算を使った定義に戻ればわかることです。\(x=-(-3)\)とすれば、\(x+(-3)=0\)です。ここで\(-3\)の定義より、\(x=3\)がわかりました。

掛け算について参考:マイナスかけるマイナスはなぜプラスになるのか:分配法則から

 

分数

掛け算の次につまづきやすいのが、割り算です。

\(3\times 6 =18\)という掛け算を知っているから、\(18 \div 6=3\)という割り算ができます。\(6\div 6=1\)なのは、\(1\times 6 =6\)に由来します。

あまりを考慮した割り算(整数の除法)と、あまりを考慮しない通常の割り算(分数)が合わせて教えられるので、そこも混乱の原因かもしれません。

 

分数\(\frac{2}{4}\)は、\(2\div 4 \)そのものです。整数の範囲で答えを求めなければ、\(\frac{a}{b}\)は必ずひとつの数を定めています。ふたつの整数によって表される分数は、一般に有理数と呼ばれるものです。

\(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)と約分できるのはなぜでしょうか。\(x=\frac{2}{4}\)と置きます。両辺に\(4\)をかければ、\(4\)をかけて\(4\)で割った部分は\(1\)になるので、\(4x =\frac{2}{4}\times 4 =2\)です。さらに両辺を\(2\)で割れば\(2x =1\)で、よって\(x=\frac{1}{2}\)となります。

分数の掛け算をひっくり返してかける理由は、数の逆数がキーとなっています。

参考:なぜ分数の割り算はひっくり返してかける? 分数の定義と逆数について

 

ルート

中学に入って、負の数に続いて迷いやすいのが、ルートの扱いです。

例えば\(\sqrt{2}\)は有理数(分数)として表せない(無理数)ので、どうやって理解すればいいのか困った人もいるかもしれません。

 

ルートや平方根を理解するには、まず同じ数を何度かかけること、2乗や3乗といったべき乗を知ることが大事です。

\(2^2=2\times 2 =4,2^3 =2\times 2\times 2=8\)ですし、\((-2)^2=4,(-2)^3 =-8\)です。

\(4\)の平方根とは、\(2\)乗して\(4\)になる数のことです。言い換えれば、\(x^2 =4\)となる\(x\)のこと。つまり、\(x=2\)または\(x=-2\)が平方根です。

しかし2つの数を同じ1つの文字で表すのは不便でしょう。そこで、正の平方根をルート記号を使って\(\sqrt{4}\)と表します。\(2^2 =4\)かつ\(2\)は正の数なので、\(\sqrt {4}=2\)。そうすれば、負の平方根は\(-\sqrt{4}\)と表せるわけです。

\(2\)の平方根\(\sqrt{2}\)は、\(2\)乗して\(2\)になる数。したがって、\((\sqrt{2})^2 =2\)が成り立つことが、\(\sqrt{2}\)の定義です。

\(3\)乗根\(\sqrt{a}\)や\(n\)乗根\(\sqrt{a}\)も、\(x^3=a\)、\(x^n=a\)を満たす「数」として定義されます。

 

逆の計算……とは違いますが、虚数や複素数も定義に戻って考えることが大事です。

(正の数や負の数をあわせた)実数\(x\)は、\(2\)乗すると必ず正の数\(x^2\geq 0\)となります。

実数の範囲では、\(x^2 =-1\)の解は存在しません。しかし\(x=i\)を、\(x^2=-1\)を満たす「数」として導入しましょう。\(i\)を虚数単位と呼びます。そして、実数\(a,b\)によって\(x=a+bi\)と表される数を複素数と呼ぶわけです。

複素数の範囲まで考えれば、2次方程式は必ず2個の解を、\(n\)次方程式は\(n\)個の解を持つことが知られています(代数学の基本定理)。

 

対数

高校数学で逆の計算といえば、まずは対数でしょう。

対数の理解のためには、その「逆」である、指数関数\(e^x ,a^x\)の理解が必要となります。

 

例えば、\(2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)です。なぜこのように分数べき乗を定義するかと言えば、\((\sqrt{2})^2=2 \)なので、\((2^{\frac{1}{2}})^2=2^{\frac{1}{2} \times 2}=2^1=2\)という指数部分の計算の整合性が取れるからです。一般には、\((a^{x})^y =a^{x\times y}\)という性質が成り立つようになっています。

また、\(2^{-1}= \frac{1}{2}\)となります。負のべき乗の定義は、\(\frac{2^3}{2^2}=2^{1}=2^{3-2}\)という関係性を拡張したものと言えるでしょう。\(\frac{2^{1}}{2^{1}}=1\)なので、\(2^{0}=1\)と定義されます。これらの結果を合わせれば、\(2^{1}2^{-1}= 2 \times \frac{1}{2}= 1 =2^{0}=2^{-1+1}\)となるわけです。一般には、\(a^{x} a^{y}=a^{x+y} \)という性質が成り立つようになっています。

底として\(e\)が登場することも、指数関数に疑問を覚えやすい要因かもしれません。

参考:なぜe(オイラー数)を学ぶ? 指数関数、対数関数の微分を単純化

 

ここまでくれば、対数関数\(\log _a x\)の扱い方もわかってくるでしょう。

\(f(x)=a^x\)という指数関数を考えます。\(a>1\)のとき、\(f\)は常に正であり、\(x\)について単調に増加します。つまり、正の数\(y\)がどのように与えられたとしても、\(a^x =y\)となるような\(x\)が見つけられるわけです。このような\(x\)を\(x= \log_a y\)と表すことにしましょう。\(a<1\)のとき、\(f\)は\(x\)について単調に減少し、同様の議論により\(a^x =y\)となる\(x\)が存在します。

この\(y\mapsto \log_a y\)という対応、\(g(y)=\log_a y\)を対数関数と呼ぶわけです。

\(a^x =y\)となることを\(x= \log _a y\)と表すわけですから、\(y=a^x\)を\(\log _a y\)に代入して見れば、\(\log _a a^x =x\)が常になりたちます。一方で、\(x=\log_a y\)を\(a^{x}=y\)に代入すれば、\(a^{\log_a y} =y\)も成立します。

これが、対数関数が指数関数の逆関数であるという関係です。

 

したがって、\(\log_2 8\)の値を求めたければ、\(8\)を\(2^3\)と表す必要があります。そうすれば、\(\log _2 8 = \log _2 2^3 =3\)であることがわかるわけです。

特に\(x=0\)のときの値から、\(\log_a a^{0}= \log_a 1 =0\)がわかります。

 

また一般に、\(\log_a x ^b = b\log_a x\)とべき乗の指数が掛け算になるという性質があります。\(y=\log_a x^b\)と置けば、対数の定義より\(x^b =a^y\)となります。両辺を\(1/b\)乗すれば、\(x= a^{y/b}\)です。これを対数の定義を使って戻せば、\(\log_a x =\frac{y}{b}\)、すなわち\(\log_a x ^b = b\log_a x\)が得られました。

さらに、\(\log_a (b\times c) =\log _a b +\log _a c\)という積を和に直せる性質があります。\(y=\log_a b,z=log_a c\)と置くと、対数の定義によって\(b= a^y,c=a^z\)です。したがって、指数関数の性質より、\(bc = a^y \cdot a^z =a ^{y+z}\)。これを対数の定義で戻せば、\(\log_a bc =y+z =\log _a b +\log _a c\)が得られました。

 

まとめ

負の数、分数、ルート、対数は、たし算、掛け算、べき乗\(x^n\)、指数関数\(a^x\)の「逆」として定義されます。

もしこれらの計算で戸惑ったら、

  • \(x\)や\(y\)と一文字の記号で表して、未知の数と考える
  • その\(x\)や\(y\)が満たす定義を思い出す

ことが大事です。

  • \(x=-3\)とは、\(x+3=0\)であること。
  • \(x=\frac{3}{2}\)とは、\(2\times x =3\)であること。
  • \(x=\sqrt{3}\)とは、\(x^2 =3\)であること。
  • \(x= \log_2 8\)とは、\(2^x= 8\)であること。

定義に戻って考えれば、その性質や計算方法を迷いなく実行できるようになるかと思います。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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