逆の計算は定義に戻れ：負の数、分数、ルート、対数

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

数学において、負の数、分数、ルート、対数といった内容でつまづく人は少なくありません。

今回は、これらが「逆の計算」であることに注目し、定義に戻って考えることの大切さを紹介しようと思います。

負の数
分数
ルート
対数
まとめ
こちらもおすすめ

負の数

一番最初に出会う逆の計算は、引き算でしょう。

\(7-4=3\)という計算が正しいのは、\(3+4=7\)というたし算が正しいからです。

\(x=6-2\)を計算したければ、\(x+2=6\)となる\(x\)を見つければ良い。たし算の理解があって、はじめてその「逆」として引き算が計算できます。

負の数、マイナスの数はこの考え方にもとづいて導入されます。

例えば、\(x=-3\)とはなんでしょうか。それは\(x+3=0\)となる数です。

マイナスのマイナスがプラス\(-(-3)=3\)となるのはなぜかも、たし算を使った定義に戻ればわかることです。\(x=-(-3)\)とすれば、\(x+(-3)=0\)です。ここで\(-3\)の定義より、\(x=3\)がわかりました。

掛け算について参考：マイナスかけるマイナスはなぜプラスになるのか：分配法則から

分数

掛け算の次につまづきやすいのが、割り算です。

\(3\times 6 =18\)という掛け算を知っているから、\(18 \div 6=3\)という割り算ができます。\(6\div 6=1\)なのは、\(1\times 6 =6\)に由来します。

あまりを考慮した割り算（整数の除法）と、あまりを考慮しない通常の割り算（分数）が合わせて教えられるので、そこも混乱の原因かもしれません。

分数\(\frac{2}{4}\)は、\(2\div 4 \)そのものです。整数の範囲で答えを求めなければ、\(\frac{a}{b}\)は必ずひとつの数を定めています。ふたつの整数によって表される分数は、一般に有理数と呼ばれるものです。

\(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)と約分できるのはなぜでしょうか。\(x=\frac{2}{4}\)と置きます。両辺に\(4\)をかければ、\(4\)をかけて\(4\)で割った部分は\(1\)になるので、\(4x =\frac{2}{4}\times 4 =2\)です。さらに両辺を\(2\)で割れば\(2x =1\)で、よって\(x=\frac{1}{2}\)となります。

分数の掛け算をひっくり返してかける理由は、数の逆数がキーとなっています。

参考：なぜ分数の割り算はひっくり返してかける？分数の定義と逆数について

ルート

中学に入って、負の数に続いて迷いやすいのが、ルートの扱いです。

例えば\(\sqrt{2}\)は有理数（分数）として表せない（無理数）ので、どうやって理解すればいいのか困った人もいるかもしれません。

ルートや平方根を理解するには、まず同じ数を何度かかけること、2乗や3乗といったべき乗を知ることが大事です。

\(2^2=2\times 2 =4,2^3 =2\times 2\times 2=8\)ですし、\((-2)^2=4,(-2)^3 =-8\)です。

\(4\)の平方根とは、\(2\)乗して\(4\)になる数のことです。言い換えれば、\(x^2 =4\)となる\(x\)のこと。つまり、\(x=2\)または\(x=-2\)が平方根です。

しかし2つの数を同じ1つの文字で表すのは不便でしょう。そこで、正の平方根をルート記号を使って\(\sqrt{4}\)と表します。\(2^2 =4\)かつ\(2\)は正の数なので、\(\sqrt {4}=2\)。そうすれば、負の平方根は\(-\sqrt{4}\)と表せるわけです。

\(2\)の平方根\(\sqrt{2}\)は、\(2\)乗して\(2\)になる数。したがって、\((\sqrt{2})^2 =2\)が成り立つことが、\(\sqrt{2}\)の定義です。

\(3\)乗根\(\sqrt{a}\)や\(n\)乗根\(\sqrt{a}\)も、\(x^3=a\)、\(x^n=a\)を満たす「数」として定義されます。

逆の計算……とは違いますが、虚数や複素数も定義に戻って考えることが大事です。

（正の数や負の数をあわせた）実数\(x\)は、\(2\)乗すると必ず正の数\(x^2\geq 0\)となります。

実数の範囲では、\(x^2 =-1\)の解は存在しません。しかし\(x=i\)を、\(x^2=-1\)を満たす「数」として導入しましょう。\(i\)を虚数単位と呼びます。そして、実数\(a,b\)によって\(x=a+bi\)と表される数を複素数と呼ぶわけです。

複素数の範囲まで考えれば、2次方程式は必ず2個の解を、\(n\)次方程式は\(n\)個の解を持つことが知られています（代数学の基本定理）。

対数

高校数学で逆の計算といえば、まずは対数でしょう。

対数の理解のためには、その「逆」である、指数関数\(e^x ,a^x\)の理解が必要となります。

例えば、\(2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)です。なぜこのように分数べき乗を定義するかと言えば、\((\sqrt{2})^2=2 \)なので、\((2^{\frac{1}{2}})^2=2^{\frac{1}{2} \times 2}=2^1=2\)という指数部分の計算の整合性が取れるからです。一般には、\((a^{x})^y =a^{x\times y}\)という性質が成り立つようになっています。

また、\(2^{-1}= \frac{1}{2}\)となります。負のべき乗の定義は、\(\frac{2^3}{2^2}=2^{1}=2^{3-2}\)という関係性を拡張したものと言えるでしょう。\(\frac{2^{1}}{2^{1}}=1\)なので、\(2^{0}=1\)と定義されます。これらの結果を合わせれば、\(2^{1}2^{-1}= 2 \times \frac{1}{2}= 1 =2^{0}=2^{-1+1}\)となるわけです。一般には、\(a^{x} a^{y}=a^{x+y} \)という性質が成り立つようになっています。

底として\(e\)が登場することも、指数関数に疑問を覚えやすい要因かもしれません。

参考：なぜe（オイラー数）を学ぶ？指数関数、対数関数の微分を単純化

ここまでくれば、対数関数\(\log _a x\)の扱い方もわかってくるでしょう。

\(f(x)=a^x\)という指数関数を考えます。\(a>1\)のとき、\(f\)は常に正であり、\(x\)について単調に増加します。つまり、正の数\(y\)がどのように与えられたとしても、\(a^x =y\)となるような\(x\)が見つけられるわけです。このような\(x\)を\(x= \log_a y\)と表すことにしましょう。\(a<1\)のとき、\(f\)は\(x\)について単調に減少し、同様の議論により\(a^x =y\)となる\(x\)が存在します。

この\(y\mapsto \log_a y\)という対応、\(g(y)=\log_a y\)を対数関数と呼ぶわけです。

\(a^x =y\)となることを\(x= \log _a y\)と表すわけですから、\(y=a^x\)を\(\log _a y\)に代入して見れば、\(\log _a a^x =x\)が常になりたちます。一方で、\(x=\log_a y\)を\(a^{x}=y\)に代入すれば、\(a^{\log_a y} =y\)も成立します。

これが、対数関数が指数関数の逆関数であるという関係です。

したがって、\(\log_2 8\)の値を求めたければ、\(8\)を\(2^3\)と表す必要があります。そうすれば、\(\log _2 8 = \log _2 2^3 =3\)であることがわかるわけです。

特に\(x=0\)のときの値から、\(\log_a a^{0}= \log_a 1 =0\)がわかります。

また一般に、\(\log_a x ^b = b\log_a x\)とべき乗の指数が掛け算になるという性質があります。\(y=\log_a x^b\)と置けば、対数の定義より\(x^b =a^y\)となります。両辺を\(1/b\)乗すれば、\(x= a^{y/b}\)です。これを対数の定義を使って戻せば、\(\log_a x =\frac{y}{b}\)、すなわち\(\log_a x ^b = b\log_a x\)が得られました。

さらに、\(\log_a (b\times c) =\log _a b +\log _a c\)という積を和に直せる性質があります。\(y=\log_a b,z=log_a c\)と置くと、対数の定義によって\(b= a^y,c=a^z\)です。したがって、指数関数の性質より、\(bc = a^y \cdot a^z =a ^{y+z}\)。これを対数の定義で戻せば、\(\log_a bc =y+z =\log _a b +\log _a c\)が得られました。