3つの連続する整数の和が3の倍数であること、一般化

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、3つの連続する整数の和が3の倍数であることの証明、一般化を紹介します。

 

意味と予想

まずは言葉の意味を確認し、予想してみましょう。

3つの連続する整数とは、「1,2,3」や「2,3,4」や「5,6,7」のように、一番小さな数に1を足して得られる3つの整数のことです。

これらの和、足した結果が3の倍数となるか確かめてみます。

\[1+2+3=6=3\times 2\]

\[2+3+4=9=3\times 3\]

\[5+6+7=18=3\times 6\]

と、確かに3の倍数になっていますね。

 

証明

では、一般的に証明していきましょう。

3つの連続する整数は、一番小さな整数を\(k\)として、\(k,k+1,k+2\)と表せます。

それらの和は

\[k+(k+1)+(k+2)\\ = 3k+3 =3(k+1)\]

です。\(k+1\)は整数なので、\(3(k+1)\)は3の倍数です。よって、3つの連続する整数の和が3の倍数であることが証明できました。

自然数は整数の一種なので、3つの連続する自然数の和が3の倍数であることが証明できました。

 

議論の仕方は、ここで示した方法でなくても良いです。

例えば途中の\(3k+3\)から。\(3k\)と\(3\)はともに3の倍数です。3の倍数同士の和は3の倍数になるので、\(3k+3\)は3の倍数と言えます。これはあまり(mod)で議論しても同じです。

3つの連続する整数を文字で表す方法も、別の形でも問題ありません。\(k-1,k,k+1\)と表したとき、その和は

\[(k-1)+k+(k+1) =3k\]

となって、3の倍数ですね。よりシンプルに見えます。

 

一般化

一般に、\(n\)を奇数として、\(n\)個の連続する整数の和は、\(n\)の倍数となることが証明できます。

 

\(k+1,k+2,\cdots,k+n\)を連続する\(n\)個の整数とします。

総和の記法(シグマ記法)を使い、和の公式\(\sum_{\ell=1}^{n} \ell =\frac{1}{2}n(n-1) \)で計算していきましょう。

\[\begin{aligned}  &(k+1)+(k+2)+\cdots+(k+n) \\ &=\sum_{\ell =1}^{n} (k+\ell)   \\ &=k n + \frac{1}{2}n(n-1) \\&= n (k + \frac{1}{2}(n-1))\end{aligned}\]

となります。\(n\)が奇数のとき、\(\frac{1}{2}(n-1)\)は整数となるので、全体が\(n\)の倍数となります。したがって、連続する\(n\)個の整数の和は\(n\)の倍数と言えました。

 

議論の途中を見れば、偶数個のケースではうまくいかないことがわかりますね。

実際、4個の連続する整数の和は、4の倍数になるとは限りません。\(1,2,3,4\)について考えると、

\[1+2+3+4=10 = 4\times (1+\frac{3}{2})\]

で、\(4\)の倍数ではありません。

 

以上、3つの連続する整数の和が3の倍数であること、一般化を紹介してきました。

\(n\)個の連続する奇数の和は常に\(n\)の倍数になるのと違って、奇数個のみでしか成り立たないのが面白いですね。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

 

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