三角関数の性質(周期性、対称性、平行移動)の覚え方:グラフを描いて考える

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

学校によっては、しばしば三角関数の関係式を覚えなければならないようです。

これらをいわゆる「公式(文字の羅列)」として覚えていたら、キリがありません。

きちんと導くならば、三角関数の定義(単位円)か、加法定理を使うでしょう。それを知っておくのが基本ですが、毎回検証すると少し面倒くさいです。

そこで今回は、これら関係式の意味を知り、当たり前のものだと思えるように、グラフを描いて考えることを紹介します。

 

sin、cosの関係式

sinとcosは、バラバラの関数でなく、双子のようなものです。

グラフを描いてみましょう。\(\sin \theta\)は、\(\sin 0 =0\)から始まって、山と谷ができて1周期になります。\(\cos \theta\)は、\(\sin \theta\)のグラフを、\(\frac{\pi}{2}\)だけ左にずらしたものです。

 

周期性

三角関数の重要な性質は、同じ形が繰り返し表れること、周期性です。それを表すのが、

\[\sin (\theta +2 n \pi) = \sin \theta\]

\[\cos (\theta +2n \pi) = \cos \theta\]

です。\(n\)という文字がわかりにくければ、\(\sin (\theta +2 \pi) ,\sin (\theta +4\pi), \sin (\theta -2\pi)\)と具体的な数をあてはめて考えてみて下さい。

グラフを見れば、\(2\pi\)が周期であることがわかります(そうであるようにグラフを描きましょう)。\(2\pi\)が周期であるとは、グラフを横に\(2\pi\)だけずらしても同じ値を取る、\(\sin (\theta + 2\pi) = \sin \theta\)ということです。

\(\sin \theta\)の周期は\(2\pi\)です。ただし、\(\sin 2\theta ,\sin 3 \theta\)の周期は\(2\pi\)ではなくなることに注意しましょう。

参考:三角関数のグラフの意味・書き方:音の波を例に

 

対称性

三角関数の原点を中心とした対称性について考えると、

\[\sin (-\theta) = -\sin \theta \]

\[\cos (-\theta) = \cos \theta\]

が成り立つことに気づきます。

\(\sin \theta\)は、原点付近では1次関数\(y =x\)に似ていて、原点付近の右側で正の値を取り、左側で同じ大きさの負の値を取っています。これを表すのが\(\sin (-\theta)= -\sin \theta \)です。

一般に、\(f(-x)= -f(x)\)を満たす関数、原点について点対称な関数を、奇関数と呼びます。1次関数やsinは奇関数です。

\(\cos \theta\)は、原点付近では2次関数\(y=-x^2 \)に似ていて、右側と左側で等しい値を取っています。これを表すのが\(\cos (-\theta)= \cos \theta \)です。

一般に、\(f(-x)=f(x)\)を満たす関数、\(y\)軸について線対称な関数を、偶関数と呼びます。2次関数やcosは偶関数です。

 

平行移動

三角関数の平行移動について考えましょう。

\[\sin (\theta +\pi )= -\sin \theta\]

\[\cos(\theta +\pi)= -\cos \theta\]

一般に、\(a>0\)として、\(f(x+a)\)は\(f(x)\)を左側に\(a\)だけ並行移動したグラフです。

グラフを\(\pi\)だけ左に動かすと、ちょうど山が谷に、谷が山に重なります。つまり、\(\theta\)軸(横軸)についてグラフを上下に折り返せば、グラフの符号を反転させれば重なる形ということです。

 

続いて、\(\frac{\pi}{2}\)だけグラフを左に動かすことを考えましょう。今回は、sinがsinに、cosがcosに対応するわけではありません。そこでsinならばcos、cosならばsinのグラフと見比べると、次の関係が成り立っていることがわかりますね。

\[\sin (\theta +\frac{\pi}{2} )= \cos \theta\]

\[\cos(\theta +\frac{\pi}{2})= -\sin \theta\]

sin、cosは\(\frac{\pi}{2}\)だけずらして符号を調整すれば同じ、双子の関係というわけです。

 

\(\sin (-\theta), \cos (-\theta)\)の平行移動も、同様に考えて導けます。まずグラフを描き、その後平行移動するとどうなっているかを見れば良いです。

一般に、\(a>0\)として、\(f(-x+a)\)は\(f(-x)\)を右側に\(a\)だけ並行移動したグラフです。

右に\(\pi\)だけずらすと、\(\sin(-\theta)\)は\(\sin \theta\)に、\(\cos (-\theta)\)は\(-\cos \theta\)に重なります。

\[\sin (-\theta +\pi )= \sin \theta\]

\[\cos(-\theta +\pi)= -\cos \theta\]

 

右に\(\frac{\pi}{2}\)だけずらすと、\(\sin(-\theta)\)は\(\cos \theta\)に、\(\cos (-\theta)\)は\(\sin \theta\)に重なります。

\[\sin (-\theta +\frac{\pi}{2} )= \cos \theta\]

\[\cos(-\theta +\frac{\pi}{2})= \sin \theta\]

 

tanの関係式

tanのグラフは、まず\(- \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\)の範囲で描きましょう。原点を通り、S字を縦に伸ばしたような形です。

 

周期性

\(- \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\)以外の範囲では、これを繰り返した形が並びます(そのようにtanを定義した)。したがって、

\[\tan (\theta +\pi) = \tan \theta\]

\[\tan (\theta +2 n \pi) = \tan \theta\]

が成り立ちます。sin,cosの最小の周期が\(2\pi\)なのに対し、tanの最小の周期は\(\pi\)です。

周期性はsin,cos,tanに共通するもので、三角関数になくてはならない性質です。

 

対称性

原点付近に注目すると、右側ではプラス、左側ではマイナスで、ちょうど折り返した形になっています。これはsinと似ていて、

\[\tan(-\theta) = -\tan \theta\]

です。つまり、tanは奇関数です。

 

周期性と対称性を組み合わせれば、

\[\tan(-\theta +\pi) = \tan(-\theta) = -\tan \theta\]

となることもわかりますね。

 

平行移動

tanは、sin,cosと違って、\(\frac{\pi}{2}\)だけ左に平行移動しても重ならない形をしています。

例えば\(\theta = – \frac{\pi}{3}\)を考えると、\(\tan \theta = -\sqrt{3}\)で、\(\tan (\theta+\frac{\pi}{2}) =\tan \frac{\pi}{6}  = \frac{1}{\sqrt{3}}\)です。ここから

\[\tan (\theta +\frac{\pi}{2}) = – \frac{1}{\tan \theta}\]

と予想することはできますね。

\(\theta =\frac{\pi}{6} , \frac{\pi}{3}\)におけるtanの値が逆数になっていること、\(\theta\)の符号を変えるとtanの符号も変わることを知っていれば、この性質は難しくありません。

 

この形を導くには、tanをsin,cosの比として表し、さきほどの性質を用いるのが簡単でしょう。

\[\begin{aligned} \tan(\theta +\frac{\pi}{2}) &= \frac{\sin(\theta +\frac{\pi}{2})}{\cos (\theta +\frac{\pi}{2})}\\&= \frac{\cos \theta}{ – \sin \theta}\\&=- \frac{1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\\ &= -\frac{1}{\tan \theta}\end{aligned}\]

 

同様にして、\(\tan (-\theta)\)の平行移動は

\[\begin{aligned} \tan(-\theta +\frac{\pi}{2}) &= \frac{\sin(-\theta +\frac{\pi}{2})}{\cos (-\theta +\frac{\pi}{2})}\\&= \frac{\cos \theta}{  \sin \theta}\\&= \frac{1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\\ &= \frac{1}{\tan \theta}\end{aligned}\]

となりました。

 

以上、三角関数の性質(周期性、対称性、平行移動)の覚え方について、グラフを描いて考える方法を紹介してきました。

加法定理から導くのは確実ですが、直観的で少し手間がかかります。グラフを描いて公式の意味を知ったり、特殊な値を当てはめて検証すれば、正しい形が何も見ずに推測できるようになるでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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