DNAの二重らせんの三角関数による表現

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

Twitter上で、DNAの対数螺旋は三角関数によって表現できるという話を知りました。

実際その通りだと思ったので、今回はその三角関数による表現についてグラフとともに紹介します。

 

生き物の細胞には核があり、その中にあるDNA(デオキシリボ核酸)には、遺伝情報が蓄えられています。

分子モデルは次の図のような形で、この構造は二重らせん構造(double helix)と呼ばれるものです。

画像引用:Zephyris – Wikipedia

 

二重らせんに注目し、それを2つの空間曲線として数学的に表してみましょう。

まず、3次元空間\((x,y,z)\)におけるらせんは、

\[c_1 (t) = (\cos t ,\sin t, t)\]

と表せます。

参考:曲線(1変数ベクトル値関数)とその微分について

DNAにかぎらず、バネ、螺旋階段やスパイラルチューブのようならせんは、真横から見ると三角関数の形をしています。

 

ひとつのらせん\(c_1\)と、位相を\(\theta\)だけずらしたらせん

\[c_2 (t) = (\cos (t+\theta) ,\sin (t+\theta), t)\]

を合わせて描いてみましょう。

\(\theta = \pi\)のときは、次の通りです。

二重らせんらしい形が表現できていますね。

 

ただし、少しきれいすぎるようにも見えます。

画像引用:brian0918™ – Wikipedia

このアニメーションと見比べてみると、2つのらせんの山は完全に反対の周期になっているわけではなく、山と山同士はやや近いですね(主溝と副溝)。

そこで位相のずれを\(\theta = \frac{3}{4} \pi \)としたときの図が次のものです。

少しのいびつさがあり、DNAの二重らせんらしさが表現できました。

 

以上、DNAの二重らせんの三角関数による表現について紹介してきました。

僕は生物学が専門ではありません。DNAの構造が三角関数による螺旋で正確に表せるのか、位相のずれは\(\theta = \frac{3}{4} \pi\)が妥当なのかについては、検証されていないことに注意してしてください。

それでも、三角関数を使うと、DNAのような二重らせんがシンプルに表現できることが伝われば嬉しいえす。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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