コンデンサーの充電・放電の時間変化:微分方程式による説明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、コンデンサーの充電・放電の時間変化について、微分方程式による説明をします。

 

コンデンサーの充電

コンデンサーの充電や放電について考えましょう。電流、電圧の時間変化は、高校物理の参考書では次のグラフのようになるとされています。

画像引用:実戦物理重要問題集 物理基礎・物理

このグラフはどうやって得たのでしょうか。実はその正体は、指数関数です。

今回は、微分方程式を用いることによって、電流・電圧の時間変化のグラフを説明したいと思います。

 

まず、充電について考えましょう。

電源による電圧は\(V\)、抵抗による電圧は\(V_R = RI\)、コンデンサーによる電圧は\(V_C = \frac{1}{C} Q\)です。

電圧に関するキルヒホッフの法則(電圧は保存される)より、

\[V_R+ V_C = V\]

\[RI +V_C =V\]

が成り立ちます。

\(I,Q,V\)はともに時間変化する、時間の関数です。コンデンサーを流れる電流\(I(t)\)は、コンデンサの電荷\(Q(t)\)の時間変化率なので(電流の定義)、

\[I = \frac{dQ}{dt} = C \frac{dV_C}{dt}\]

です。これらをまとめれば、

\[R C \frac{dV_C}{dt} + V_C = V\]

となります。これは関数\(V_C (t)\)の微分を含む方程式で、微分方程式と呼ばれるものです。

 

微分方程式を解き、関数\(V_C (t)\)を求めてみましょう。

この方程式の形は、変数分離形に持ち込んで解くことができます。\(V_C\)に関する項を左辺に集めれば、

\[ \frac{1}{V_C -V} \frac{dV_C}{dt} = – \frac{1}{RC}\]

です。両辺を\(t\)について積分すると、

\[\int _{V_C(0)}^{V_C(t)} \frac{1}{y -V} dy = \int_0 ^t -\frac{1}{RC} ds\]

です。左辺は

\[\int _{V_C(0)}^{V_C(t)} \frac{1}{y -V} dy = \log |V_C(t) -V| -\log|V_C(0)-V|\]

で、右辺は

\[\int_0 ^t -\frac{1}{RC} ds =-\frac{t}{RC} \]

なので、

\[\log \frac{|V_C(t) -V|}{|V_C(0)-V|} = -\frac{t}{RC}\]

です。両辺の指数関数を取ると、左辺の対数関数は外れて

\[ \frac{|V_C(t) -V|}{|V_C(0)-V|}= e^{- \frac{t}{RC}}\]

となります。

\(t=0\)のときはコンデンサは充電されていないので、\(Q(0)=V_C(0)=0\)です。また、電源の電圧は\(V>0\)です。これらに気をつけて絶対値を外すと、

\[\begin{aligned} V_C(t)  &= – Ve^{- \frac{t}{RC}}  +V\\&= V(1- e^{- \frac{t}{RC}})\end{aligned}\]

と指数関数の形の解を得ることができました。

時間経過すると、指数関数の項は減衰し、

\[\lim_{t\to \infty} V_C(t) = V\]

と電源の電圧に近づいていきます。

 

電流は、この解の微分によって求めることができます。

\[\begin{aligned} I(t) &= \frac{dQ}{dt}\\& = C \frac{dV_C}{dt} \\&=\frac{V}{RC}e^{-\frac{t}{R}}\end{aligned}\]

これは指数関数的な減衰です。時間経過すると、

\[\lim_{t \to \infty}I(t) =0\]

です。これで充電のグラフについて理解できましたね。

 

コンデンサーの放電

続いて、コンデンサーの放電について考えましょう。

画像引用:実戦物理重要問題集 物理基礎・物理

 

さきほどと同じ流れです。

電源による電圧は\(0\)となり、抵抗による電圧は\(V_R = RI\)、コンデンサーによる電圧は\(V_C = \frac{1}{C} Q\)となりました。

電圧に関するキルヒホッフの法則(電圧は保存される)より、

\[V_R+ V_C = 0\]

\[RC \frac{dV_C}{dt} +V_C =0\]

が成り立ちます。

 

さきほどと同様にして、微分方程式を解いていきましょう。

\[ \frac{1}{V_C } \frac{dV_C}{dt} = – \frac{1}{RC}\]

です。両辺を\(t\)について積分すると、

\[\int _{V_C(0)}^{V_C(t)} \frac{1}{y } dy = \int_0 ^t -\frac{1}{RC} ds\]

です。したがって、

\[\log \frac{|V_C(t) |}{|V_C(0)|} = -\frac{t}{RC}\]

です。両辺の指数関数を取ると、左辺の対数関数は外れて

\[ \frac{|V_C(t) |}{|V_C(0)|}= e^{- \frac{t}{RC}}\]

です。放電を開始した時点での電圧を\(V_0 =V_C(0)\)と置くと、

\[V_C(t) = V_0 e^{- \frac{t}{RC}}\]

と電圧を求めることができました。

今回は時間経過すると、

\[\lim_{t \to \infty}V_C(t) = 0\]

と電圧が0に近づいていきます(放電が完了する)。

 

電流はその微分を使って求めることができます。

\[\begin{aligned} I(t) &= \frac{dQ}{dt}\\& = C \frac{dV_C}{dt} \\&=\frac{V_0}{R}e^{-\frac{t}{RC}}\end{aligned}\]

これもまた、指数関数的な減衰です。時間経過すると、

\[\lim_{t \to \infty}I(t) =0\]

となります。

 

以上、コンデンサーの充電・放電の時間変化について、微分方程式による説明をしてきました。

抵抗とコイルを含む回路抵抗コイルコンデンサーの回路を流れる電流の問題についても、微分方程式の問題となります。回路における電流や電圧の時間変化は、背後に微分方程式があると知っておくと良いでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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