Julia(SymPy)でベクトルの計算をする方法(内積・ノルム・距離・角度、外積)

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、Julia(SymPy)でベクトルの計算、内積・ノルム・距離・角度、外積を計算する方法を紹介します。

 

準備

SymPyを使うので、持っていなければインストールしておきましょう。

準備として、以下のコードを実行しておきます。

 

Julia(SymPy)でベクトルの計算をする方法

ベクトルの用意

「Sym[1,2,2]」で、ベクトル\((1,2,2)\)を表すことができます。これは縦ベクトルです。

\[\left[ \begin{array}{r}1\\2\\2\end{array} \right]\]

 

より一般に、文字を使ってベクトルを表しましょう。

\[\left[ \begin{array}{r}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array} \right]\]

\[\left[ \begin{array}{r}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{array} \right]\]

\[\left[ \begin{array}{r}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{array} \right]\]

 

和、スカラー倍

通常の和+、掛け算記号*を使うことで、ベクトルの和、スカラー倍が計算できます。

\[\left[ \begin{array}{r}a_{1} + b_{1}\\a_{2} + b_{2}\\a_{3} + b_{3}\end{array} \right]\]

\[\left[ \begin{array}{r}2 a_{1}\\2 a_{2}\\2 a_{3}\end{array} \right]\]

\[\left[ \begin{array}{r}a_{1} k\\a_{2} k\\a_{3} k\end{array} \right]\]

 

\(-a\)は\(a\)の\(-1\)倍として解釈され、それは確かに\(a\)の(加法)逆ベクトルであることが確かめられます。

\[\left[ \begin{array}{r}- a_{1}\\- a_{2}\\- a_{3}\end{array} \right]\]

\[\left[ \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array} \right]\]

 

内積・ノルム・距離・角度

ベクトル\(a,b\)の(ユークリッド)内積\(\langle a,b \rangle\)は、「a.dot(b)」で計算できます。

\[a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}\]

 

ベクトルのノルム(大きさ)\(\|a\|\)は、「a.norm()」です。

\[\sqrt{\left|{a_{1}}\right|^{2} + \left|{a_{2}}\right|^{2} + \left|{a_{3}}\right|^{2}}\]

 

距離\(d(a,b)=\|a-b\|\)は、関数が見つからなかったので、新たに定義しましょう。

\[\sqrt{\left|{a_{1} – b_{1}}\right|^{2} + \left|{a_{2} – b_{2}}\right|^{2} + \left|{a_{3} – b_{3}}\right|^{2}}\]

 

内積とノルムが計算できれば、ベクトルのなす角度

\[\cos \theta =\frac{\langle a,b\rangle }{ \|a\| \|b\| }\]

が求められます。これを\(\theta\)について解くために、逆三角関数acosを使います。

 

ベクトルの内積、ノルム、距離、なす角を、より具体的な例で計算してみましょう。

\[\left[ \begin{array}{r}1\\0\\0\end{array} \right]\]

\[\left[ \begin{array}{r}1\\1\\0\end{array} \right]\]

\[1\]

\[1\]

\[\sqrt{2}\]

\[1\]

\[\frac{\pi}{4}\]

 

内積の線形性

\[\langle ka+c,b\rangle = k\langle a,c\rangle+\langle c,b\rangle \]

を確かめてみましょう。

\[b_{1} \left(a_{1} k + c_{1}\right) + b_{2} \left(a_{2} k + c_{2}\right) + b_{3} \left(a_{3} k + c_{3}\right)\]

\[b_{1} c_{1} + b_{2} c_{2} + b_{3} c_{3} + k \left(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}\right)\]

false

素朴に両辺を「==」で比較すると、falseを返されてしまいます。SymPyでは「==」は数式が構造的に完全に等しいかチェックするもので、「\((x+1)^2\),\(x^2+2x+1\)」は等しくないものとして扱われています。

「expand(数式)」で両辺を展開すると、確かに等しいことがわかります。

true

恒等式を確かめるには、左辺から右辺を引いて「simplify(数式)」で0に等しくなるか確かめる、という方法でも良いでしょう。

\[0\]

 

外積

ベクトル\(a,b\)の外積(ベクトル積)\(a\times b\)は、「a.cross(b)」で計算できます。

\[\left[ \begin{array}{r}a_{2} b_{3} – a_{3} b_{2}\\- a_{1} b_{3} + a_{3} b_{1}\\a_{1} b_{2} – a_{2} b_{1}\end{array}\right]\]

 

外積\(a\times b\)ともとのベクトル\(a,b\)が直交していることが、計算で確かめられます。

\[0\]

\[0\]

 

交代性

\[a\times b = – b \times a\]

が正しいかどうかも、チェックできます。

true

 

ベクトル三重積の性質、ヤコビ恒等式

\[a\times(b\times c)+b\times(c\times a)+c\times(a\times b)=0\]

を確かめてみましょう。

左辺を計算して単純化しても、

\[\left[ \begin{array}{r}a_{2} \left(b_{1} c_{2} – b_{2} c_{1}\right) – a_{3} \left(- b_{1} c_{3} + b_{3} c_{1}\right) + b_{2} \left(- a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}\right) – b_{3} \left(a_{1} c_{3} – a_{3} c_{1}\right) + c_{2} \left(a_{1} b_{2} – a_{2} b_{1}\right) – c_{3} \left(- a_{1} b_{3} + a_{3} b_{1}\right)\\- a_{1} \left(b_{1} c_{2} – b_{2} c_{1}\right) + a_{3} \left(b_{2} c_{3} – b_{3} c_{2}\right) – b_{1} \left(- a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}\right) + b_{3} \left(- a_{2} c_{3} + a_{3} c_{2}\right) – c_{1} \left(a_{1} b_{2} – a_{2} b_{1}\right) + c_{3} \left(a_{2} b_{3} – a_{3} b_{2}\right)\\a_{1} \left(- b_{1} c_{3} + b_{3} c_{1}\right) – a_{2} \left(b_{2} c_{3} – b_{3} c_{2}\right) + b_{1} \left(a_{1} c_{3} – a_{3} c_{1}\right) – b_{2} \left(- a_{2} c_{3} + a_{3} c_{2}\right) + c_{1} \left(- a_{1} b_{3} + a_{3} b_{1}\right) – c_{2} \left(a_{2} b_{3} – a_{3} b_{2}\right)\end{array}\right]\]

なぜか単純化してくれません。

各成分ごとに単純化を行うと、

\[0\]

\[0\]

\[0\]

となって、恒等式が正しいことがわかります。

 

以上、Julia(SymPy)でベクトルの計算をする方法(内積・ノルム・距離・角度、外積)を紹介してきました。

具体的な数値だけでなく、記号を使って一般的な性質や恒等式を計算、チェックできるのは嬉しいですね。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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