Julia(SymPy)で1変数関数の極限を求める方法

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、Julia(SymPy)で1変数関数の極限を求める方法を紹介します。

 

準備

SymPyを使うので、持っていなければインストールしておきましょう。

準備として、以下のコードを実行しておきます。

 

1変数関数の極限

まず、\(x\)を数式処理用の変数、記号として用意しましょう。

 

単純な関数の極限

「limit(関数,変数,値)」で極限を求めることができます。

\[0\]

これは、\(\lim_{x\to 0}x =0\)を意味しています。確かにその通りです。

無限大\(\infty\)に近づけるときは、値として2つのオー「oo」を用いれば良いです。

 

\(\frac{1}{x}\)の\(x\to \infty\)での極限値も、きちんと計算できます。

\[0\]

 

\(\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\)はどうでしょうか。

\[0\]

右側極限を考えるときは、

\[\infty\]

とオプションを加えましょう。「”+”」を書かない場合、デフォルトでは右側極限と解釈されます(ただし、正の無限大では左側極限を考えている)。

マイナスに変えることで、左側極限を考えることができます。

\[-\infty\]

両側極限を考えるためには、オプションを「”+-“」にすれば良いです。

\[\tilde{\infty}\]

\(\tilde{\infty}\)(zoo)は、複素無限遠点を表す記号です。複素無限遠点を考えると、\(\infty ,-\infty\)といった極限値もひとつの点として扱えるので、このように書かれるわけです。

しかし、実数の極限としてこの結果が表示されるのは、微妙な仕様ですね。\(\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\)では、実数の(両側)極限は存在しません。「NaN」を返してほしいです。

 

\(\frac{x}{x}\)の極限は、どうなるでしょうか。

\[1\]

数式はあらかじめ単純化され、\(\frac{0}{0}\)、不定形とならないように解釈されています。

 

1次関数の比\(\lim_{x\to \infty}\frac{2x+1}{x}\)

\[2\]

最高次の係数の比になっていますね。

 

振動する関数\(\lim_{x\to\infty}(-1)^x\)

\[\text{NaN}\]

\(\text{NaN}\)はNot a Numberの略で、数でない、つまり極限が存在しないことを意味しています。

 

微積分における基本的な極限

オイラー数(ネイピア数)\(e\)の定義式\(\lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x\)からは、きちんと\(e\)が導かれます。

\[e\]

 

初等関数と1次関数の比較、接線近似の極限

\[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1\]

\[\lim_{x \to 0}\frac{\cos x -1}{x} =0\]

\[\lim_{x \to 0}\frac{e^x -1}{x} =1\]

\[\lim_{x \to 0}\frac{\log _e (1+x)}{x} =1\]

の結果も導けます。

\[1\]

\[0\]

\[1\]

\[1\]

参考:有名な極限の公式f(x)/xの覚え方:接線近似とテイラー展開

 

対数関数、多項式、指数関数、階乗の無限大での増大スピードの比較も得られます。

\[\lim_{x\to \infty} \frac{\log_e x}{x^a}= 0\]

\[\lim_{x\to \infty} \frac{x^a}{x^b}= 0\]

\[\lim_{x\to \infty} \frac{x^b}{e^x}= 0\]

\[\lim_{x\to \infty} \frac{e^x}{x!}= 0\]

\[0\]

\[0\]

\[0\]

\[0\]

参考:多項式・指数・対数関数の極限、増大のスピード比較

 

関数の微分も、微分の極限による定義にしたがって計算できます。

\[\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^3 -x^3}{h}\]

\[3x^2\]

考えている変数が\(h\)に変わったことに注意しましょう。

参考:Julia(SymPy)で1変数関数を微分する方法(多項式、指数対数、三角関数)  

 

以上、Julia(SymPy)で1変数関数の極限を求める方法を紹介してきました。

コンピュータにおいても無限大や極限を扱えるのは便利ですね。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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