Julia(SymPy)で有理関数を部分分数分解、通分する方法

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、Julia(SymPy)で有理関数(多項式の分数関数)を部分分数分解、通分する方法を紹介します。

 

準備

SymPyを使うので、持っていなければインストールしておきましょう。

準備として、以下のコードを実行しておきます。

 

部分分数分解、通分のやり方

まず、\(x\)を数式処理用の変数として用意しましょう。

 

例として、

\[\frac{1}{x \left(x + 2\right)}\]

を部分分数分解します。「apart(数式)」が部分分数分解をする関数です。

\[- \frac{1}{2 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{2 x}\]

確かに、部分分数分解された結果が返ってきました。

この手順を逆にたどる、つまりいくつかの分数関数をひとつにまとめる(通分)するには、「simplify(数式)」を使えば良いです。

\[- \frac{1}{2 x + 4} + \frac{1}{2 x}\]

\[\frac{1}{x \left(x + 2\right)}\]

 

もう少し難しい例でも、部分分数分解できます。

\[\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)}\]

\[- \frac{x}{3 \left(x^{2} + 4\right)} + \frac{x}{3 \left(x^{2} + 1\right)}\]

 

\[\frac{x^{3} + 3 x + 1}{\left(x^{2} + 1\right) \left(x^{2} + 4\right)}\]

\[\frac{x – 1}{3 \left(x^{2} + 4\right)} + \frac{2 x + 1}{3 \left(x^{2} + 1\right)}\]

 

\[\frac{x^2}{x^5-5x^3+4x}\]

\[\frac{1}{6 \left(x + 2\right)} – \frac{1}{6 \left(x + 1\right)} \\- \frac{1}{6 \left(x – 1\right)} + \frac{1}{6 \left(x – 2\right)}\]

 

ただし、分母(割る多項式)が有理数解を持たない(無理数解を持つ)ケースでは、うまく部分分数分解してくれませんでした。

\[\frac{1}{x^{2} – 2}\]

手動で分母を因数分解しておいても、結局同様の扱いをされてしまいます。

\[\frac{1}{x^{2} – 2}\]

ただし、逆の操作(通分)はできます。手動で部分分数分解しておいた式を与えて、それを単純化すると、きちんと元に戻ります。

\[- \frac{\sqrt{2}}{4 \left(x + \sqrt{2}\right)} + \frac{\sqrt{2}}{4 \left(x – \sqrt{2}\right)}\]

\[\frac{1}{x^{2} – 2}\]

 

また、文字を含む一般的な有理関数に対し、部分分数分解できないか試しましたが、できませんでした。

\[\frac{x + 1}{\left(- a + x\right) \left(x – 1\right)}\]

\(x\)以外に含む変数は\(a\)ひとつですが、結果はエラーを返します。

ほしい結果があるならば、\(a\)を具体的な値に置き換えて試すと良いでしょう。「数式.subs(変数,値)」で代入しましょう。\(a=0,1,2\)のケースの有理関数、その部分分数分解を表示できます。

\[\left[ \begin{array}{r}\frac{x + 1}{x \left(x – 1\right)}\\\frac{x + 1}{\left(x – 1\right)^{2}}\\\frac{x + 1}{\left(x – 2\right) \left(x – 1\right)}\end{array} \right]\]

\[\left[ \begin{array}{r}\frac{2}{x – 1} – \frac{1}{x}\\\frac{1}{x – 1} + \frac{2}{\left(x – 1\right)^{2}}\\- \frac{2}{x – 1} + \frac{3}{x – 2}\end{array} \right]\]

 

以上、Julia(SymPy)で有理関数(多項式の分数関数)を部分分数分解、通分する方法を紹介してきました。

うまくいかないケースもありますが、多くの場合できちんと部分分数分解を計算してくれます。手計算だと計算ミスもしやすいので、検算用として使うのも良いでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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