Julia（SymPy）で1次不等式、2次不等式を解く方法

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、Julia（SymPy）で1次不等式、2次不等式を解く方法を紹介します。

準備
不等式を解く方法
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準備

SymPyを使うので、持っていなければインストールしておきましょう。

using Pkg
Pkg.add("SymPy")

1 2	using Pkg Pkg.add("SymPy")

準備として、以下のコードを実行しておきます。

using SymPy

1	using SymPy

不等式を解く方法

\(x\)を変数、記号として用意しましょう。

x= symbols("x", real=true)

1	x= symbols("x", real=true)

オプション「real=true」で変数が実数であると仮定しておくと、結果の表示がシンプルになります。

1次不等式

「LessThan(左辺,右辺)」で不等式を定めて、「solve(不等式)」で解くことができます。LessThanは\(\leq\)、「左辺は右辺と同じか小さい（小なりイコール）」を表すものです。

LessThan(2*x,1)
solve(LessThan(2*x,1))

1 2	LessThan(2x,1) solve(LessThan(2x,1))

\[ \begin{aligned}2 x \leq 1\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}x \leq \frac{1}{2}\end{aligned} \]

等号を含まない、狭義の不等号\(<\)による不等式は、「StrictLessThan」を使います。

StrictLessThan(2*x,-1)
solve(StrictLessThan(2*x,-1))

1 2	StrictLessThan(2x,-1) solve(StrictLessThan(2x,-1))

\[ \begin{aligned}2 x < -1\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}x < – \frac{1}{2}\end{aligned} \]

2次不等式

2次不等式も同様にして解けます。「GreaterThan」はLessThanの逆向きで、\(\geq\)（大なりイコール、左辺は右辺と同じか大きい）の意味です。

GreaterThan(2*x^2-3,4)
solve(GreaterThan(2*x^2-3,4))

1 2	GreaterThan(2x^2-3,4) solve(GreaterThan(2x^2-3,4))

\[ \begin{aligned}2 x^{2} – 3 \geq 4\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}\frac{\sqrt{14}}{2} \leq x \vee x \leq – \frac{\sqrt{14}}{2}\end{aligned} \]

\(\vee\)は「または（or）」の意味です。\(x\leq – \frac{\sqrt{14}}{2}\)または\(\frac{\sqrt{14}}{2} \leq x\)を満たす\(x\)が不等式を成立させます。

LessThan(x^2-2*x+1,3)
solve(LessThan(x^2-2*x+1,3))

1 2	LessThan(x^2-2x+1,3) solve(LessThan(x^2-2x+1,3))

\[ \begin{aligned}x^{2} – 2 x + 1 \leq 3\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}x \leq 1 + \sqrt{3} \wedge 1 – \sqrt{3} \leq x\end{aligned} \]

\(\wedge\)は「かつ（and）」の意味です。\(1 – \sqrt{3} \leq x\)と\(x \leq 1 + \sqrt{3} \)の両方を満たす\(x\)が、不等式の解です。

LessThan(x^2,0)
solve(LessThan(x^2,0))

1 2	LessThan(x^2,0) solve(LessThan(x^2,0))

\[ \begin{aligned}x^{2} \leq 0\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}x = 0\end{aligned} \]

不等式の解がただ一点となるケースも解けます。

StrictLessThan(x^2,0)
solve(StrictLessThan(x^2,0))

1 2	StrictLessThan(x^2,0) solve(StrictLessThan(x^2,0))

\[ \begin{aligned}x^{2} < 0\end{aligned} \]

Any[]

「Any[]」は結果が存在しないこと、つまり不等式に解がないことを意味します。2乗して負になる実数は存在しません。

一般の不等式

多項式が定める不等式だけでなく、より一般の関数が定める不等式も解けます。

solve(GreaterThan(abs(x-1),2))
solve(GreaterThan(log(x),0))
solve(GreaterThan(sin(x),0))

solve(GreaterThan(abs(x-1),2))

solve(GreaterThan(log(x),0))

solve(GreaterThan(sin(x),0))

\[ \begin{aligned}3 \leq x \vee x \leq -1\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}1 \leq x\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}0 \leq x \wedge x \leq \pi\end{aligned} \]

\(|x-1| \geq 2\)の解が\(3 \leq x \vee x \leq -1\)であること、\(\log x \geq 0\)の解が\(1 \leq x\)であることは正しいです。

しかし、\(\sin x \geq 0\)の解が\(0 \leq x \wedge x \leq \pi\)であるという結果は微妙です。確かにこれを満たす\(x\)は不等式を満たしますが、解のすべてではありません。例えば、\(\sin(2\pi)=0\)です。一般には、\(2k \pi \leq x \leq (2k+1)\pi\)を満たすような整数\(k\)が存在する\(x\)が解と言えます。

以上、Julia（SymPy）で1次不等式、2次不等式を解く方法を紹介してきました。

等式（方程式）も代数的に解くことができますが、不等式も特殊な値を求めるだけでなく、範囲を求めてきちんと解けるのは嬉しいです。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。