Julia（SymPy）による三角関数の特殊な値の計算方法

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、Julia（SymPy）による三角関数の特殊な値の計算方法を紹介します。

準備
三角関数の特殊な値の計算方法
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準備

SymPyを使うので、持っていなければインストールしておきましょう。

using Pkg
Pkg.add("SymPy")

1 2	using Pkg Pkg.add("SymPy")

準備として、以下のコードを実行しておきます。

using SymPy

1	using SymPy

三角関数の特殊な値の計算方法

まず、\(\sin (\frac{\pi}{6})\)を求めてみます。

sin(pi/6)

sin(pi/6)

\[ \begin{aligned}0.49999999999999994\end{aligned} \]

この書き方だと、小数として\(\frac{\pi}{6}\)を計算しているので、誤差が出てしまっています。記号的に\(\pi\)を表すために、SymPyでは「PI」を使います。

sin(PI/6)

sin(PI/6)

\[ \begin{aligned}\frac{1}{2}\end{aligned} \]

さらに、三角関数のより特殊な角度についても記号的に計算できます。

sin(PI/12)

1	sin(PI/12)

\[ \begin{aligned}- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\end{aligned} \]

なお、三角関数の入力はラジアンで計算されています。もし度で計算したいならば、次のような変換をすると良いでしょう。

function dsin(x)
    return sin(PI/180 *x)
end

dsin(15)

function dsin(x)

return sin(PI/180 *x)

end

dsin(15)

\[ \begin{aligned}- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\end{aligned} \]

結果を代数的にでなく、小数で表したいならば「数式.evalf()」を用います。

dsin(15).evalf()

1	dsin(15).evalf()

\[ \begin{aligned}0.258819045102521\end{aligned} \]

特殊な角\(x=0,\frac{\pi}{24},\frac{2}{24}\pi,\dots\)でのサインの値を求め、一覧にしてみましょう。

[sin(PI/24*i) for i in 0:24]

1	[sin(PI/24*i) for i in 0:24]

\[ \begin{aligned}\left[ \begin{array}{r}0\\- \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\\- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\\\sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}}\\\frac{1}{2}\\- \frac{\sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\\\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\\\frac{\sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\\1\\\frac{\sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\\\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{\sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\\\frac{1}{2}\\\sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}}\\- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\\- \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\\0\end{array} \right]\end{aligned} \]

二重根号はありますが、比較的シンプルに表せています。

三角関数の数表を作りたいならば、この結果を「sin(PI/24*i).evalf()」と置き換えれば良いでしょう。

代数的に表すのにも限界はあり、\(\pi\)を整数で割った角の値を、すべて表してくれるわけではありません。