逆三角関数arctanのテイラー展開の簡単な求め方

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、逆三角関数\(\mathrm{arctan}\)のテイラー展開の求め方を紹介します。

 

\(f(z) = \mathrm{arctan\,} z\)をタンジェントの逆関数、アークタンジェントとしましょう。そのテイラー展開(マクローリン展開)は

\[\mathrm{arctan \,}z = z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\cdots \\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1}\]

と表されます。収束する範囲は\(|z|<1\)です。

変数を複素数として議論していますが、実変数\(x\)と考えても、全く同じ式が成り立ちます。

(複素のアークタンジェント\( w=\mathrm{arctan\,} z\)は、\(w=a+ib\)と実部虚部を表す時、\(|a|<\frac{\pi}{2}\)と主値を選ぶことで逆関数を作っています。)

 

さて、アークタンジェントの微分は、

\[(\mathrm{arctan \,}z )^{\prime}= \frac{1}{1+z^2}\]

となります。これを繰り返し微分して、テイラー級数の係数\(a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)を計算することは、原理的にできますが大変です。そこで、少し工夫をしましょう。

一般に、等比級数(幾何級数)の公式から、

\[\frac{1}{1-w}= \sum_{n=0}^\infty w^n\]

\(|w|<1\)が成り立ちます。ここで\(w=-z^2\)と置き換えると、微分の式が級数展開できます。

\[\begin{eqnarray}&& (\mathrm{arctan \,}z )^{\prime}\\&=& \frac{1}{1+z^2}\\&=& \sum_{n=0}^\infty (-z^2)^n \\ &=& \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n} \end{eqnarray}\]

ただし、\(|z^2|<1\)、すなわち\(|z|<1\)です。

複素べき級数では、項別に積分できることが知られています。そこで両辺を\(z\)について積分すると、

\[\begin{eqnarray}&& \mathrm{arctan \,}z  \\ &=&  \int _0 ^z (\sum_{n=0}^\infty (-1)^n w^{2n} )dw \\ &=& \sum_{n=0}^\infty (\int _0 ^z (-1)^n w^{2n} dw) \\ &=& \sum_{n=0}^\infty  (-1)^n [\frac{1}{2n+1}w^{2n+1}]_0^z \\&=& \sum_{n=0}^\infty   \frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1}\end{eqnarray}\]

と求められました。逆関数の定義から、\(\mathrm{arctan \,}0=0\)であることに注意しましょう。項別積分(や微分)では収束半径は変わらず、\(|z|<1\)において級数は収束します。

(厳密に言えば、\(\int_0 ^z dw\)は、\(0,z\)をつなぐ直線の経路\(c\)における複素線積分を表しています。)

 

以上、逆三角関数arctanのテイラー級数展開の求め方を紹介してきました。

arcsinやarccosのテイラー級数は少し複雑になりますが、それに比べてarctanのテイラー展開は簡単です。

arctanの微分を幾何級数として展開することで、元の関数の級数展開が求められるのは便利です。形式的に導けるので、ぜひ利用してみてください。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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