どうも、木村（@kimu3_slime）です。
今回は、オイラー・コーシーの微分方程式の解き方、例を紹介します。
オイラー・コーシーの方程式（Euler-Cauchy equation）とは、\(a,b\)を定数として、
\[ \begin{aligned}x^2 y^{\prime \prime} +axy^{\prime}+by=0\end{aligned} \]
と表される微分方程式です。オイラーの微分方程式とも。分類としては、変数係数の2階線形微分方程式となります。
変数係数の方程式では、解を求める一般的な方法はありません。しかしこの方程式では、次のようにして特殊解を求めることができます。
\(y=x^{\lambda}\)という形の解を考えましょう。方程式に代入すれば、
\[ \begin{aligned}x^2 \lambda (\lambda-1)x^{\lambda -2}+a x \lambda x^{\lambda -1}+bx^{\lambda}\\ =(\lambda ^2 +(a-1)\lambda +b)x^{\lambda}\\ =0\end{aligned} \]
となるので、
\[ \begin{aligned}\lambda ^2 +(a-1)\lambda +b=0\end{aligned} \]
を解くことで、\(y(x) =x^{\lambda}\)という解が見つけられます。
必要に応じて定数変化法を用いることで、オイラー・コーシー方程式の一般解を見つけられます。
結果としては、上の方程式（特性方程式）の解のようすによって、次のような解が得られます。
\(\lambda _1, \lambda_2\)が異なる実数のとき
\[ \begin{aligned}y=C_1 x^{\lambda_1}+C_2 x^{\lambda_2}\end{aligned} \]
重解のとき\(\lambda _1 =\lambda_2\)
\[ \begin{aligned}y=C_1 x^{\lambda}+C_2 x^{\lambda}\log x \end{aligned} \]
共役な複素数解のとき\(\lambda =a\pm bi\)
\[ \begin{aligned}y=x^{a}(C_1\cos (b\log x)+ C_2\sin (b\log x))\end{aligned} \]
例として、
\[ \begin{aligned} r^2 G^{\prime \prime} +2rG^{\prime} -n(n+1)G=0\end{aligned} \]
というオイラー・コーシー方程式を解いてみましょう。この形は、球座標におけるラプラス方程式の境界値問題を解く中で現れます。
\(G(r)=r^{\lambda}\)と表される解について考えると、
\[ \begin{aligned}\lambda ^2+\lambda -n(n+1)=0 \end{aligned} \]
という方程式が得られます。その解は、\(\lambda =n,-n-1\)です。したがって、
\[ \begin{aligned}G(r)= C_1 r^n +C_2 \frac{1}{r^{n+1}}\end{aligned} \]
という一般解が得られました。
以上、オイラー・コーシーの微分方程式の解き方、例を紹介してきました。
変数係数の方程式を解くのは難しいですが、この方程式ではべき乗関数の形を仮定することで、簡単に解を表すことができます。特殊解を探すというアイデアは大事ですね。
木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。
Pearson (2016-03-02T00:00:00.000Z)
￥4,910
Advanced Engineering Mathematics
John Wiley & Sons Inc (2011-05-03T00:00:01Z)
￥6,333 (中古品)
朝倉書店 (2002-01-01T00:00:01Z)
￥2,215 (中古品)
Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics)
Amer Mathematical Society (2010-04-02T00:00:01Z)
￥9,531 (中古品)
