行列全体のなす集合が線形空間（ベクトル空間）となることの証明

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、行列全体のなす集合が線形空間（ベクトル空間）となることの証明を、丁寧に紹介したいと思います。

行列全体のなす集合とは
線形空間となることの証明
行列空間の次元
行列のノルム
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行列全体のなす集合とは

\(M(2,2)\)という記号で、\(2 \times 2 \)行列全体の集合を表すとしましょう。各成分は実数とします。例えば、\( \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 &1 \end{pmatrix} \in M(2,2)\)です。

行列には、成分同士の和と、成分全体のスカラー倍によって、和とスカラー倍という演算が定義されています。\(O\)をゼロ行列とすれば、すべての行列に対して\(A +O =A\)を満たすので、ゼロベクトルの役割を果たしていますね。

どうやら、行列全体のなす集合は線形空間の定義を満たしていそうです。

線形空間となることの証明

ここからは一般に、\(M(m,n)\)で\(m\times n\)行列全体の集合を表すとしましょう。各成分は、ひとまず実数\(\mathbb{R}\)とします。（複素数\(\mathbb{C}\)や一般に体\(\mathbb{K}\)であっても同様に議論できます。）

さて、線形空間の定義を思い出しましょう。

集合\(V\)が線形空間（ベクトル空間）であるとは、以下の条件を満たすことである。

\(V\)の任意の要素\(x,y,z\)、任意の数\(a,b\in \mathbb{R}\)に対し、和\(x+y \)、スカラー乗法\(ax \)と呼ばれる\(V\)の要素が定まり、次の条件を満たす。

結合法則：\((x+y)+z = x+(y+z)\)

交換法則：\(x+y =y+x\)

ゼロベクトルの存在：\(\exists o(o+x =x)\)

逆ベクトルの存在：\(\exists w (x+w=o)\)。これを逆ベクトルと言い、\(w=-x\)と書く。

分配法則：\((a+b)x= ax+bx\)

分配法則：\(a(x+y)=ax+ ay\)

両立条件：\((ab)x= a(bx)\)

スカラー乗法の単位要素：\(1x =x\)

行列全体の集合には、次のようにして和とスカラー倍を定義できます。

\(A , B\in M(m,n)\)、\(a \in \mathbb{R}\)とします。行列の第\(i,j\)成分を\(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\)と表しましょう。行列の和は、\(A+B=(c_{ij})\)と成分で表すとき、任意の\(i,j\)（\( 1 \leq i \leq m, 1\leq j \leq n\)）に対して、

\[ \begin{aligned} c_{ij} = a_{ij} +b_{ij}\end{aligned} \]

で定めます。スカラー倍\(a A =(d_{ij})\)は、

\[ \begin{aligned} d_{ij} = a \cdot a_{ij}\end{aligned} \]

と定めます。各成分は実数同士の和なので実数であり、\(M \times N\)行列ができあがっているので、\( A+B , a A\in M(m,n)\)です。

こうして定めた和とスカラー倍が、線形空間の条件を満たすかどうかチェックしましょう。

任意に\(A,B, C \in M(m,n)\)を選びます。\(A=(a_{ij}),B=(b_{ij}),C=(c_{ij})\)と成分表示しましょう。

結合法則\((A+B)+C =A+(B+C)\)は成り立ちます。なぜなら、各成分について\((a_{ij} +b_{ij}) + c_{ij} =a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})\)が成り立つので（実数の和の結合法則）。

和の交換法則\(A+B = B+A\)も同様です。実数の和の交換法則より、\(a_{ij} +b_{ij} = b_{ij} +a_{ij}\)が成り立つので。

\(O\)をすべての成分が\(0\)である\(M\times N\)行列としましょう。いわゆるゼロ行列です。\( O \in M(m,n)\)です。

そして、任意の\(A\)に対して、\(O+A =A\)が成り立ちます。なぜなら、\(0\)はどんな実数に加えても影響を与えず（実数の加法単位元）、\( 0+a_{ij} =a_{ij}\)が成り立つので。

任意の\(A\)に対して、\(-A\)という行列を\(-A := (-a_{ij})\)によって定めましょう。すると、\(A+(-A) =(a_{ij}+(-a_{ij})) =O\)となります。どんな行列に対しても、和についての逆元が存在することがわかりました。

和とスカラーの間に成り立つ性質を調べていきましょう。行列の和、スカラー倍という演算に則って計算するように気をつけます。

実数の分配法則より、\((a+b)A =((a+b)a_{ij}) \)\(=(aa_{ij}+b a_{ij}) =aA +bA\)が成り立ちます。

実数の分配法則より、\(a(A+B)= a(a_{ij}+b_{ij})\)\(=(a(a_{ij}+b_{ij})=(aa_{ij} +a b_{ij}) =aA +aB\)が成り立ちます。

実数の結合法則より、\((ab)A = (ab a_{ij}) = a(ba _{ij})= a(bA)\)が成り立ちます。

\(1\)は実数において何を掛けても変わらないので（乗法単位元）、\(1 A = (1 a_{ij}) = (a_{ij})=A\)が成り立ちます。

以上によって、\(M(m,n)\)は線形空間の条件をすべて満たすことがわかりました。

（今回考えた行列の計算は、和とスカラー倍のみです。ベクトル空間を考えるときは、行列の積の性質までは考慮に入れていません。そこまで考慮に入れるときは、バナッハ環（バナッハ代数）と呼ばれます。）

行列空間の次元

線形空間には、必ず次元が定まります。

\(V\)をベクトル空間とします。ベクトルの組\(v_1,\dots, v_k\)が、線形独立であり、すべてのベクトルをそれらの線形結合で表せるとき、\(v_1,\dots, v_k\)を\(V\)の基底といい、その個数を次元というのでした。

\(M(m,n)\)の次元はなんでしょうか。考えてみてください。

例えば\(2 \times 2\)の行列ならば、\( \begin{pmatrix}1 &0 \\0 &0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 &1 \\0 &0 \end{pmatrix}\)、\( \begin{pmatrix}0 &0 \\1 &0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 &0 \\0 &1 \end{pmatrix}\)といった行列が基底になりそうです。もしそれが正しいなら、次元は\(2 \times 2 =4\)でしょう。

\(M(m,n)\)の次元は、\(m \times n\)であることを示します。

\(E _{ij}\)という\(M(m,n)\)の行列を、\((i,j)\)成分だけが\(1\)、他が\(0\)であるものとします。\((E_{ij})_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}\)が\(M(m,n)\)の基底であることを示しましょう。その個数は\(m\times n\)個ですね。

線形独立であることを確かめます。係数\(e_{ij}\)によって

\[ \begin{aligned} e_{11} E_{11} + \cdots + e_{mn}E_{mn}=O\end{aligned} \]

と表されたとしましょう。左辺を計算してひとつの行列にまとめると、その\(i,j\)成分は\(e _{ij}\)となります。右辺はゼロ行列\(O\)なので、各成分を比較すれば、すべての\(i,j\)について\(e_{ij}= 0\)となることがわかりました。

\(M(m,n)\)を生成していることを確かめます。\(A \in M(m,n)\)を任意のものとして、\(A=(a_ij)\)と成分表示しましょう。すると、行列の定め方によって

\[ \begin{aligned}A = a_{11}E_{11} + \cdots +a_{mn}E{mn}\end{aligned} \]

と表すことができました。

以上によって、\(\dim (M(m,n)) = mn\)であるとわかりました。

ユークリッド空間\(\mathbb{R}^N\)においては、第\(i\)成分だけが\(1\)、他が\(0\)であるベクトル\(e_i\)を考えたとき、\(e_1, \dots, e_N\)を標準基底と呼ぶのでした。今回\(M(m,n)\)において考えた基底も、似たようなものですね。

行列のなす線形空間\(M(m,n)\)も、有限次元であるという意味では、ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{mn}\)と同じような扱いができることがわかりました。