ストークスの定理とは? 計算例、電磁気学への応用

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

ベクトル解析において有名な3つの定理として、グリーンの定理、ストークスの定理、ガウスの発散定理があります。

今回は、ストークスの定理とは何か、その計算例、電磁気学への応用を紹介します。

 

ストークスの定理とは

ストークスの定理(Stokes’s theorem)は、空間\(\mathbb{R}^3\)における曲面における面積分と、その境界である曲線における線積分を結びつける定理です。

\(S \subset \mathbb{R}^3\)をパラメータ付けられた曲面とし、その境界(ふち)がなめらかな曲線\(c\)によって表されているとする。\(F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\)を\(C^1\)級のベクトル場、\(F=(F_1,F_2,F_3)\)とする。このとき、次の等式が成り立つ。

\[\int _c F = \int _S \langle \mathrm{rot} F ,n\rangle\]

\(n\)は\(S\)の外向き単位法線ベクトル

\(\mathrm{rot} F\)は\(F\)の回転(rotation)と呼ばれるベクトル場であり、

\[\mathrm{rot} F =(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},-(\frac{\partial F_3}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial z}),\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})\]

と定義されます。\(\mathrm{curl}F\)、\(\nabla \times F\)とも。それぞれの成分が、\(yz\)、\(zx\)、\(xy\)平面における回転となっているわけです。

 

グリーンの定理は、平面\(\mathbb{R}^2\)において

\[\int _c F = \int _D \mathrm{rot} F dxdy\]

が成り立つというもの。曲面\(S\)が平らで2次元領域\(D\)となっているケースです。

ストークスの定理において曲面\(S\)が\(xy\)平面上にあるとき、単位法線ベクトルは\(n=(0,0,1)\)となるので、面積分は\( \int _S(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}) dxdy\)でグリーンの定理そのものとなります。ストークスの定理は、3次元への一般化と言えるわけです。

 

具体例で確かめる

ストークスの定理が成り立っているかどうか、具体例を計算して確かめてみましょう。

 

\(S\subset \mathbb{R}^3\)を半径\(r\)の上半球面\(S=\{(x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2=r^2,z\geq 0\}\)としましょう。その境界は円周であり、\(c(\phi) =(r\cos \phi,r\sin \phi,0)\)、\(0\leq \phi <2\pi\)と表されます。\(F (x,y,z)=(z-y,x+z,-x-y)\)としましょう。

 

まず線積分を計算します。\(F (c(\phi))=(-r\sin \phi,r\cos \phi,-r\cos \phi-r\sin \phi)\)で、\(c^{\prime}(\phi)= (-r\sin \phi,r\cos \phi,0)\)なので、

\[\begin{eqnarray}\int _c F &=& \int_0 ^{2\pi} \langle F(c(\phi)) ,c^{\prime}(\phi)\rangle d\phi \\ &=& \int_0 ^{2\pi}r^2 d\phi \\ &=& 2\pi r^2 \end{eqnarray}\]

となりました。

 

一方で、面積分を計算しましょう。

\(S\)は\(p(\theta,\phi)=(r\sin \theta \cos \phi,r\sin\theta \sin \phi,r\cos \theta)\)、\(0\leq\theta \leq \frac{\pi}{2}\)、\(0\leq \phi < 2\pi\)と空間極座標によりパラメータ表示できます。外積は\(p_{\theta} \times p_{\phi} =r \sin \theta \,p(\theta,\phi)\)です。また、このとき、\(\mathrm{rot}F =(-2,2,2)\)です。したがって、

\[\begin{eqnarray} \int _S \langle \mathrm{rot} F ,n\rangle &=& \int_0 ^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  \langle \mathrm{rot} F ,p_{\theta} \times p_{\phi}\rangle d\theta d\phi \\&=& \int_0 ^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  2r^2\sin\theta (-\sin \theta \cos \phi+\sin\theta \sin \phi+\cos \theta)d\theta d\phi\\ &=& 2r^2\int_0 ^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  (\sin\theta)^2 ( \sin \phi- \cos \phi)+\sin \theta \cos \theta d\theta d\phi  \\ &=& r^2\int_0 ^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  (1-\cos 2\theta) ( \sin \phi- \cos \phi)+\sin 2\theta d\theta d\phi \\ &=& r^2\int_0 ^{2\pi}   \frac{\pi}{2} ( \sin \phi- \cos \phi)+1 d\theta d\phi \\ &=& 2\pi r^2\end{eqnarray}\]

となり、ストークスの定理が成り立っていることが確かめられました。

 

ストークスの定理の証明は、曲面\(S\)を平面に「引き戻し」てグリーンの定理に帰着させます。詳しくは、杉浦「解析入門 Ⅱ」8章を参照。

 

電磁気学への応用

ストークスの定理を用いれば、回転の面積分か、線積分か、どちらか計算しやすい方を計算して、もう一方を求めることができます。

 

その言い換えは、電磁気学においてよく利用されるものです。基本的な方程式はマクスウェル方程式と呼ばれるものですが、そのうちの2つ

\[\mathrm{rot}E = -\frac{\partial B}{\partial t}\]

に注目しましょう。\(E,B\)は電場、磁場と呼ばれるベクトル場です。

 

境界を曲線\(c\)とする適当な曲面\(S \subset \mathbb{R}^3\)において、上の等式を面積分します。

\[\int_S \langle \mathrm{rot}E ,n\rangle = \int_S \langle -\frac{\partial B}{\partial t} ,n\rangle\]

左辺はストークスの定理より、

\[\int_S \langle \mathrm{rot}E ,n\rangle = \int _c E\]

で、右辺は\(B\)が\(C^1\)級であるときに積分と微分の順序交換ができて、

\[\int _c E = -\frac{\partial }{\partial t}\int_S \langle B ,n\rangle \]

が成り立ちます。

左辺は電圧(ボルト)\(V\)で、右辺は磁束の変化率を表します。これは磁界の変化によって電圧が生じる現象、ファラデーの電磁誘導の法則を表すものです。磁束の変化とは逆、打ち消すように誘導起電力が生じること(レンツの法則)が読み取れます。

\(c\)はコイル(ソレノイド)ならば円周を表すものとして考えられ、高校物理では\(V= – \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\)と説明されています

 

同様の議論で、マクスウェルの方程式の一部は(\(\frac{\partial E}{\partial t}=0\)のとき、)

\[c^2 \mathrm{rot}B = \frac{j}{\varepsilon_0}\]

\[c^2 \int _c B = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_S j \]

と言い換えられます。\(j\)は電流、\(c\)は光速度、\(\varepsilon\)は誘電率を表します。

電流がある方向に流れている(面\(S\)を突き抜けている)ときに、それに対して回転するように磁場が生じること、アンペールの法則(右ねじの法則)を表すものです。高校物理では、\(H =\frac{1}{2\pi r} I\)と説明されます。

 

以上、ストークスの定理とは何か、その具体例での検証、電磁気学への応用を紹介しました。

ストークスの定理は、2次元的な曲面だけでなく、より高次元の対象、多様体微分形式において一般化されます。これについては多様体の教科書をあたってみてください。

3次元空間におけるストークスの定理は、ガウスの発散定理同様、電磁気学や多変数の微積分において基本的な定理なので、ぜひ慣れてみてください。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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