ストークスの定理とは？計算例、電磁気学への応用

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

ベクトル解析において有名な3つの定理として、グリーンの定理、ストークスの定理、ガウスの発散定理があります。

今回は、ストークスの定理とは何か、その計算例、電磁気学への応用を紹介します。

ストークスの定理とは
具体例で確かめる
電磁気学への応用
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ストークスの定理とは

ストークスの定理（Stokes’s theorem）は、空間\(\mathbb{R}^3\)における曲面における面積分と、その境界である曲線における線積分を結びつける定理です。

\(S \subset \mathbb{R}^3\)をパラメータ付けられた曲面とし、その境界（ふち）がなめらかな曲線\(c\)によって表されているとする。\(F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\)を\(C^1\)級のベクトル場、\(F=(F_1,F_2,F_3)\)とする。このとき、次の等式が成り立つ。

\[ \begin{aligned}\int _c F = \int _S \langle \mathrm{rot} F ,n\rangle\end{aligned} \]

\(n\)は\(S\)の外向き単位法線ベクトル。

\(\mathrm{rot} F\)は\(F\)の回転（rotation）と呼ばれるベクトル場であり、

\[ \begin{aligned}\mathrm{rot} F =(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},-(\frac{\partial F_3}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial z}),\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})\end{aligned} \]

と定義されます。\(\mathrm{curl}F\)、\(\nabla \times F\)とも。それぞれの成分が、\(yz\)、\(zx\)、\(xy\)平面における回転となっているわけです。

グリーンの定理は、平面\(\mathbb{R}^2\)において

\[ \begin{aligned}\int _c F = \int _D \mathrm{rot} F dxdy\end{aligned} \]

が成り立つというもの。曲面\(S\)が平らで2次元領域\(D\)となっているケースです。

ストークスの定理において曲面\(S\)が\(xy\)平面上にあるとき、単位法線ベクトルは\(n=(0,0,1)\)となるので、面積分は\( \int _S(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}) dxdy\)でグリーンの定理そのものとなります。ストークスの定理は、3次元への一般化と言えるわけです。

具体例で確かめる

ストークスの定理が成り立っているかどうか、具体例を計算して確かめてみましょう。

\(S\subset \mathbb{R}^3\)を半径\(r\)の上半球面\(S=\{(x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2=r^2,z\geq 0\}\)としましょう。その境界は円周であり、\(c(\phi) =(r\cos \phi,r\sin \phi,0)\)、\(0\leq \phi <2\pi\)と表されます。\(F (x,y,z)=(z-y,x+z,-x-y)\)としましょう。

まず線積分を計算します。\(F (c(\phi))=(-r\sin \phi,r\cos \phi,-r\cos \phi-r\sin \phi)\)で、\(c^{\prime}(\phi)= (-r\sin \phi,r\cos \phi,0)\)なので、

\[ \begin{aligned} \int _c F &= \int_0 ^{2\pi} \langle F(c(\phi)) ,c^{\prime}(\phi)\rangle d\phi \\ &= \int_0 ^{2\pi}r^2 d\phi \\ &= 2\pi r^2 \end{aligned} \]

となりました。

一方で、面積分を計算しましょう。

\(S\)は\(p(\theta,\phi)=(r\sin \theta \cos \phi,r\sin\theta \sin \phi,r\cos \theta)\)、\(0\leq\theta \leq \frac{\pi}{2}\)、\(0\leq \phi < 2\pi\)と空間極座標によりパラメータ表示できます。外積は\(p_{\theta} \times p_{\phi} =r \sin \theta \,p(\theta,\phi)\)です。また、このとき、\(\mathrm{rot}F =(-2,2,2)\)です。したがって、

\[ \begin{aligned} \int _S \langle \mathrm{rot} F ,n\rangle &= \int_0 ^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \langle \mathrm{rot} F ,p_{\theta} \times p_{\phi}\rangle d\theta d\phi \\&= \int_0 ^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2r^2\sin\theta (-\sin \theta \cos \phi+\sin\theta \sin \phi+\cos \theta)d\theta d\phi\\ &= 2r^2\int_0 ^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin\theta)^2 ( \sin \phi- \cos \phi)+\sin \theta \cos \theta d\theta d\phi \\ &= r^2\int_0 ^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos 2\theta) ( \sin \phi- \cos \phi)+\sin 2\theta d\theta d\phi \\ &= r^2\int_0 ^{2\pi} \frac{\pi}{2} ( \sin \phi- \cos \phi)+1 d\theta d\phi \\ &= 2\pi r^2\end{aligned} \]

となり、ストークスの定理が成り立っていることが確かめられました。

ストークスの定理の証明は、曲面\(S\)を平面に「引き戻し」てグリーンの定理に帰着させます。詳しくは、杉浦「解析入門 Ⅱ」8章を参照。