連続するn個のaの倍数がnの倍数となる条件、証明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、連続するn個のaの倍数がnの倍数となる条件とその証明を紹介します。

 

前提

3つの連続する整数の和は、3の倍数となります。一般に、\(n\)個の連続する整数の和は、\(n\)が奇数のとき、\(n\)の倍数です。

また、連続する3つの偶数の和は、3の倍数(特に、6の倍数)となります。一般に、\(n\)個の連続する偶数の和は、\(n\)の倍数です。

整数は\(1\)の倍数で、偶数は\(2\)の倍数と言えます。より一般に、\(a\)の倍数を考え、その連続する\(n\)個の和が\(n\)の倍数となる条件を考えてみましょう。

 

条件の導出、証明

連続する\(n\)個の\(a\)の倍数は、\(ak+a,ak+2a,\dots,ak+na\)と表せます。

総和の記号(シグマ記号)を使って和を表し、和の公式\(\sum_{\ell=1}^n \ell = \frac{1}{2}n(n+1)\)によって計算しましょう。

連続する\(n\)個の\(a\)の倍数の和は、

\[(ak+a)+\cdots+(ak+na)\\= \sum_{\ell =1}^{n} (ak+\ell a)\\ = nak+a \cdot \frac{1}{2}n(n+1)\\=n(ak+\frac{a}{2}(n+1))\]

となります。

これが\(n\)の倍数となるのは、\(\frac{a}{2}\)が整数のとき、または\(\frac{1}{2}(n+1)\)が整数となるときです。

つまり、\(a\)が偶数(2の倍数)であるとき、または\(n\)が奇数のとき、連続する\(n\)個の\(a\)の倍数の和が\(n\)の倍数であると言えました。

まとめると、

  • \(a\)が偶数ならば、\(a\)の倍数の\(n\)個の連続和は常に\(n\)の倍数。
    • 特に、\(n\)が奇数のとき、\(2n\)の倍数になる。
  • \(a\)が奇数であり、かつ\(n\)が奇数のとき、\(a\)の倍数の\(n\)個の連続和は\(n\)の倍数。
    • \(a\)が奇数であり、かつ\(n\)が偶数のときは、\(n\)の倍数にはならない。

となりました。

 

具体例

具体例を通じてチェックしてみましょう。

\(n=3\)個の連続する\(a=4\)の倍数、\(4,8,12\)の和を考えてみると、

\[4+8+12= 24 = 6\times 4\]

と、3の倍数(特に6の倍数)になっていますね。

また、\(n=4\)個の連続する\(a=5\)の倍数、\(10,15,20,25\)の和を考えると、

\[10+15+20+25= 70 \]

となり、これは4の倍数ではありません。

 

以上、連続するn個のaの倍数がnの倍数となる条件とその証明を紹介してきました。

多くのケースでは、nの倍数になるという結果です。ただし、奇数倍の倍数が偶数個の場合は、nの倍数にならないという例外があるのは面白いですね。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

 

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