対数をなぜ学ぶか:pHの定義と求め方

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、対数をなぜ学ぶか、酸性やアルカリ性の指標であるpHの定義と求め方について紹介します。

 

pHとは

酢や塩酸などには、鉄など金属を溶かす力があり、その性質は酸性と呼ばれてまいます。石鹸水などには、タンパク質を溶かす力があり、それはアルカリ性(塩基性)と呼ばれる性質です。水はその中間で、どちらの影響も与えず、中性と呼ばれています。

リトマス紙や紫キャベツ液、フェノールフタレインやBTB液、メチルオレンジなどが酸塩基指示薬として有名ですね。

 

酸性、アルカリ性、中性といった性質は、水溶液中の水素イオン濃度によって決まります。

溶液の水素イオン濃度を\([\mathrm{H}^+]\)(\(\mathrm{mol / L}\))とするとき、pH(potential of hydrogen)は

\[\mathrm{pH} := -\log_{10} [\mathrm{H}^+]\]

と定義されます。ここで\(\log_{10}\)は底を10とする対数(常用対数)です。

pHが小さいほど酸性が強く、7付近が中性、大きいほどアルカリ性が強いです。

この数式の意味を、簡単な例で計算して捉えてみましょう。

 

pHの求め方

一定の温度の水溶液では、水素イオン濃度\([\mathrm{H}^+]\)と水酸化物イオン濃度\([\mathrm{OH}^-]\)の積が一定であることが知られています。これを水のイオン積と呼びます。

\[K_w = [\mathrm{H}^+][\mathrm{OH}^-]\]

特に、25℃の水溶液では、\(K_w = 10^{-14}\)となります。以降、25℃の水溶液について考えましょう。(一般には、温度によって異なる値です。)

\[10^{-14}= 0.00000000000001\]

負のべき乗については:マイナス乗、ゼロ乗とは:指数法則を知ろう

 

純粋な水では、水素イオン濃度と水酸化物イオン濃度が釣り合った状態になり、等しくなります。水のpHを求めてみましょう。

平衡状態にあること\([\mathrm{H}^+]=[\mathrm{OH}^-]\)と、\(K_w\)の値から、\([\mathrm{H}^+]^2 = 10^{-14} \)です。これを解けば、\([\mathrm{H}^+]= 10^{-7}\)ですね。

よって、対数の定義から

\[\begin{aligned} \mathrm{pH} &= -\log_{10} 10^{-7} \\&= 7\end{aligned}\]

です。

\(\log_{10} x\)の値を求めるには、中身の部分を10のべき乗に書き換えて、\(\log _{10} 10^{\alpha} =\alpha \)とすれば良いですね。簡単に言えば、対数とはべき乗の指数部分を取り出す操作です。

これで水のpHが7であること、なぜ中性とpHが対応しているのかわかりました。

 

別の例として、強塩酸\(\mathrm{HCL}\)のpHについて考えましょう。

その強塩酸のイオン濃度を\(10^{-3}\)とします。強い酸では、そのすべてがイオンに電離します(電離度\(\alpha =1\)、100%)。そして、塩酸は一価の酸です(塩酸1molに対し「1mol×電離度」の水素イオンが生じる)。

したがって、\([\mathrm{H}^+]= 10^{-3}\)です。よって、pHは

\[\begin{aligned} \mathrm{pH} &= -\log_{10} 10^{-3} \\&= 3\end{aligned}\]

と求めることができました。

 

この問題では、pHの計算が簡単になるような濃度を考えました。もし\(2\times 10^{-3}\)ならば、\(\mathrm{pH}= -\log_{10} (2\times 10^{-3}) = 3 -\log_{10} 2\)です。この計算には、対数の知識が必要ですね。

コンピュータを使うか、常用対数表の値\(\log_{10}2 \simeq 0.301\)を使えば、\(\mathrm{pH} \sim 2.699 \)となります。

 

 

以上、対数をなぜ学ぶか、pHの定義と求め方について紹介してきました。

酸性やアルカリ性の強さを調べるには、水素イオン濃度が10の何乗かが大事というわけです。このようなスケールを取り出すのに、対数は便利です。

音の強さのデシベル、地震の規模のマグニチュードと並んで、pHの計算で対数が利用されていることを知ってもらえたら嬉しいです。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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