正規分布の平均、分散の求め方、証明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、正規分布の平均、分散の求め方、証明を紹介します。

前提知識:連続確率変数の平均(期待値)、分散の求め方:一様分布を例に

 

正規分布の平均、分散の求め方

連続確率変数\(X\)の平均、分散の定義をおさらいしておきましょう。\(f\)を\(X\)の確率密度関数とするとき、

\(X\)の平均(mean)、または期待値(expected value)は

\[E(X):= \int_{-\infty}^\infty x f(x)dx\]

で、分散(variance)には

\[\begin{aligned} V(X) &:= \int_{-\infty}^\infty (x-E(X))^2 f(x)dx\\&=E(X^2)-(E(X))^2 \end{aligned}\]

という関係があります。

平均\(\mu\)、標準偏差\(\sigma\)の正規分布Normal(μ,σ)について、その確率密度関数は

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2} } \exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2})\]

です。この時点では、\(\mu ,\sigma^2\)は単なるパラメータ(実数)ですが、それが実際に平均と分散に一致することを証明しましょう。

 

まずは特殊なケースとして、平均0で分散1のとき、標準正規分布Normal(0,1)を考えます。その分布に従う確率変数を\(Z\)、確率密度関数を

\[g(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \exp(-\frac{z^2}{2 })\]

としましょう。

 

平均を計算すると、微積分学の基本定理から

\[\begin{aligned} E(Z) &= \int_{-\infty}^\infty s  \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \exp(-\frac{s^2}{2 })ds \\ &=[ -\frac{1}{\sqrt{2\pi }}  \exp(-\frac{s^2}{2 })]_{-\infty}^\infty \\ &=0-0\\&=0  \end{aligned}\]

です。

 

また、\(Z^2\)の期待値は、部分積分によって計算できます。

\[\begin{aligned} &\frac{d}{ds}(-  \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \exp(-\frac{s^2}{2 }) )\\ &= s\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \exp(-\frac{s^2}{2 })\end{aligned}\]

に気をつけて、

\[\begin{aligned} E(Z^2) &= \int_{-\infty}^\infty s (s  \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \exp(-\frac{s^2}{2 }))ds \\&= [-s  \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \exp(-\frac{s^2}{2 })]_{-\infty}^\infty \\ &+ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \exp(-\frac{s^2}{2 } )ds \\&=0+1 \\&=1\end{aligned}\]

です。前半の項が消えるのは、指数関数の減衰の強さによるものです。後半の積分が1となるのは、全体における積分(確率の合計)が1となるように確率密度関数を選んでいるからです。詳しくは、ガウス積分

\[\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\]

において、\(a=\frac{1}{2}\)としたケースに対応しています。そこで\(\sqrt{2\pi}\)が出てくるので、係数がキャンセルするわけです。

参考:極座標変換による重積分の計算 ガウス積分を例に

したがって、分散は

\[\begin{aligned} V(Z)&= E(Z^2)-(E(Z))^2 \\&=1-0 \\&=1 \end{aligned}\]

と求められました。

 

一般に、確率変数を平行移動したり定数倍すると、平均と分散は次のようになります。

\[E(cX+a) =cE(X)+a\]

\[V(cX+a)= c^2 V(X) \]

平均は定数倍され、平行移動によってそのまま移動します。分散は定数の2乗倍され、平行移動によっては変わりません。

 

正規分布に従う確率変数\(X\)と、標準正規分布に従う確率変数\(Z\)の間には、\(X =\sigma Z +\mu\)という関係があります(\(Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\))。したがって、

\[\begin{aligned} E(X)&=\sigma E(Z)+\mu \\&=\mu \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} V(X)&=\sigma^2 V(Z) \\&=\sigma ^2\end{aligned}\]

と確かめることができました。

 

以上、正規分布の平均、分散の求め方、証明を紹介してきました。

簡単で扱いやすいケースとして標準正規分布があり、それを変数変換した結果が一般の正規分布と捉えると理解しやすいですね。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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