ポアソン分布の平均値、分散の求め方

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、ポアソン分布の平均値、分散の求め方を紹介します。

前提知識：離散確率分布とは：一様分布、ベルヌーイ分布、二項分布、ポアソン分布を例に

ポアソン分布の平均値、分散

平均値、分散の定義をおさらいしておきます。

確率分布\(P\)に従う離散確率変数を\(X\)、確率質量関数を\(f(x):=P(X=x)\)とします。確率変数の平均値、または期待値は

\[E(X):= \sum_{k} x_k f(x_k)\]

で、分散には

\[V(X) =\sum_{k} (x_k-E(X))^2 f(x_k)\\= E(X^2) – (E(X))^2\]

という関係式があります。

単位時間に平均で起こる割合をパラメータ\(\lambda\)として、ポアソン分布Poisson(λ)について考えましょう。\(k\)を非負の整数として、その確率質量関数は次の通り。

\[f(k) = \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}\]

平均値は

\[\begin{aligned} E(X)&= \sum_{k=0}^\infty k \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda} \\&= e^{-\lambda} \lambda \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}\\ &= e^{-\lambda} \lambda e^{\lambda}\\&= \lambda\end{aligned}\]

です。指数関数のテイラー展開\(e^{\lambda} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\)を使いました。

指数関数のテイラー展開が使える形に持ち込むと、

\[\begin{aligned} E(X^2) &= \sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda} \\&= e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty (k(k-1)+k) \frac{\lambda ^{k}}{k!}\\ &= e^{-\lambda}(\sum_{k=0}^\infty k(k-1) \frac{\lambda ^{k}}{k!} +\sum_{k=0}^\infty k \frac{\lambda ^{k}}{k!}) \\&= e^{-\lambda}( \lambda ^2 \sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda ^{k-2}}{(k-2)!} +\lambda\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}) \\&=e^{-\lambda}(\lambda ^2 e^{\lambda}+ \lambda e^{\lambda}) \\ &= \lambda^2+\lambda \end{aligned}\]

となるので、分散は

\[\begin{aligned} V(X) &= E(X^2) -(E(X))^2 \\&= \lambda^2+\lambda-\lambda^2 \\&=\lambda \end{aligned}\]

となりました。ポアソン分布では、平均値と分散が等しいです。

例えば\(\lambda =3\)ならば、平均値は\(3\)、分散は\(3\)となります。

（ちなみに、分散の計算途中で出てきた形\(E(X(X-1))=(\sum_{k} x_k(x_k-1) f(x_k)\)を2次の階乗モーメントと呼びます。）

以上、ポアソン分布の平均値、分散の求め方を紹介してきました。

指数関数との組み合わせで、数学的にも扱いやすいですね。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。