どうも、木村(@kimu3_slime)です。
今回は、ポアソン分布の平均値、分散の求め方を紹介します。
前提知識:離散確率分布とは:一様分布、ベルヌーイ分布、二項分布、ポアソン分布を例に
ポアソン分布の平均値、分散
平均値、分散の定義をおさらいしておきます。
確率分布\(P\)に従う離散確率変数を\(X\)、確率質量関数を\(f(x):=P(X=x)\)とします。確率変数の平均値、または期待値は
\[E(X):= \sum_{k} x_k f(x_k)\]
で、分散には
\[V(X) =\sum_{k} (x_k-E(X))^2 f(x_k)\\= E(X^2) – (E(X))^2\]
という関係式があります。
単位時間に平均で起こる割合をパラメータ\(\lambda\)として、ポアソン分布Poisson(λ)について考えましょう。\(k\)を非負の整数として、その確率質量関数は次の通り。
\[f(k) = \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}\]
平均値は
\[\begin{aligned} E(X)&= \sum_{k=0}^\infty k \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda} \\&= e^{-\lambda} \lambda \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}\\ &= e^{-\lambda} \lambda e^{\lambda}\\&= \lambda\end{aligned}\]
です。指数関数のテイラー展開\(e^{\lambda} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\)を使いました。
指数関数のテイラー展開が使える形に持ち込むと、
\[\begin{aligned} E(X^2) &= \sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda} \\&= e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty (k(k-1)+k) \frac{\lambda ^{k}}{k!}\\ &= e^{-\lambda}(\sum_{k=0}^\infty k(k-1) \frac{\lambda ^{k}}{k!} +\sum_{k=0}^\infty k \frac{\lambda ^{k}}{k!}) \\&= e^{-\lambda}( \lambda ^2 \sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda ^{k-2}}{(k-2)!} +\lambda\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}) \\&=e^{-\lambda}(\lambda ^2 e^{\lambda}+ \lambda e^{\lambda}) \\ &= \lambda^2+\lambda \end{aligned}\]
となるので、分散は
\[\begin{aligned} V(X) &= E(X^2) -(E(X))^2 \\&= \lambda^2+\lambda-\lambda^2 \\&=\lambda \end{aligned}\]
となりました。ポアソン分布では、平均値と分散が等しいです。
例えば\(\lambda =3\)ならば、平均値は\(3\)、分散は\(3\)となります。
(ちなみに、分散の計算途中で出てきた形\(E(X(X-1))=(\sum_{k} x_k(x_k-1) f(x_k)\)を2次の階乗モーメントと呼びます。)
以上、ポアソン分布の平均値、分散の求め方を紹介してきました。
指数関数との組み合わせで、数学的にも扱いやすいですね。
木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。
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