Julia(SymPy)で複素数の絶対値、偏角、初等関数を計算する方法

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、Julia(SymPy)で複素数の絶対値、偏角、初等関数を計算する方法を紹介します。

 

準備

SymPyを使うので、持っていなければインストールしておきましょう。

準備として、以下のコードを実行しておきます。

 

複素数の絶対値、偏角

まず、SymPyにおいて虚数単位\(i)を「I」と表すことにします。

 

簡単な計算をしてみると、

\[ \begin{aligned}-1\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}1+i\end{aligned} \]

虚数単位の2乗が-1になり、記号として扱えていることがわかります。

 

「sympy.re(z)」で実部、「sympy.im(z)」で虚部、「sympy.conjugate(z)」で共役な複素数が表示されます。

\[ \begin{aligned}1\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}1\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}1-i\end{aligned} \]

 

絶対値は「abs(z)」、偏角は「sympy.arg(z)」です。

\[ \begin{aligned}\sqrt{2}\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}\frac{\pi}{4}\end{aligned} \]

 

極形式\(z= re^{i \theta}\)が成り立っているかどうかチェックしてみましょう。

\[ \begin{aligned}\sqrt{2} e^{\frac{i \pi}{4}}\end{aligned} \]

そのまま書いてみると、表示が単純になりません。「数式.as_real_imag()」で、複素数の数式の実部、虚部をまとめて表示させられます。

こうして、実部1、虚部1の複素数を表していることがわかりました。

 

初等関数

複素変数の平方根やべき乗根、対数関数、べき乗関数について調べてみましょう。

 

\[ \begin{aligned}\sqrt{i}\end{aligned} \]

こちらもこれ以上に単純な表示になりません。実部や虚部を計算してみましょう。

\(\sqrt{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\)がわかりました。これは平方根の主値

\[ \begin{aligned}\sqrt{z} : = w = \sqrt{r} (\cos \frac{\theta}{2} +i \sin \frac{\theta}{2})\end{aligned} \]

として計算されていますね。

 

3乗根も代数的に求められます。

 

「log(z)」で、複素対数関数の主値

\[ \begin{aligned}\mathrm{Log\,} z := \log |z| + \theta i\end{aligned} \]

が求められます。

\[ \begin{aligned}\frac{i \pi}{2}\end{aligned} \]

 

複素べき乗関数は、そのままだとなぜかうまく計算してくれません。

\[ \begin{aligned}i^e\end{aligned} \]

 

べき乗関数の主値の定義

\[ \begin{aligned}a^{z}:= e^{(\log_e a) z}\end{aligned} \]

にしたがって計算できる関数を用意しましょう。

 

\[ \begin{aligned}e^{\frac{e i \pi}{2}}\end{aligned} \]

 

\(1^i\)や\(i^i\)も計算できます。

\[ \begin{aligned}1\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}e^{- \frac{\pi}{2}}\end{aligned} \]

 

以上、Julia(SymPy)で複素数の絶対値、偏角、初等関数を計算する方法を紹介してきました。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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