平方数と倍数:n^2がmの倍数ならばnはmの倍数であることの証明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

平方数と倍数について、\(n^2\)が\(m\)の倍数ならば\(n\)は\(m\)の倍数であることの証明を紹介します。

この性質は、\(\sqrt{2},\sqrt{3}\)が無理数であることを背理法で証明する中でよく利用されるものです。

一応確認しておくと、主張の逆「\(n\)が\(m\)の倍数ならば、\(n^2\)は\(m\)の倍数である」は常に正しいです。なぜなら、\(n^2\)は常に\(n\)がかかっているからです。

 

対偶を用いた証明

この問題は、対偶を使って捉えると理解しやすいでしょう。

例として、「\(n^2\)が2の倍数であるならば\(n\)が2の倍数である」を示すために、対偶「\(n\)が2の倍数でないならば、\(n^2\)は2の倍数でない」を示しましょう。

\(n\)を2の倍数でないと仮定すると、\(n\)は奇数(2で割ったあまり1)しかないので、\(k\)を整数として\(n=2k +1\)と表せます。

このとき、\(n^2 = 4k^2 +4k+1\)で、\(4k^2+4k\)が2の倍数です。偶数と奇数の和は奇数なので、\(n^2\)は2の倍数ではありません。

3の倍数についても、同様の議論ができます。対偶を考えると、3の倍数でない場合、つまり\(n=3k+1,3k+2\)の2通りがあります。それぞれのケースで平方を計算して、あまりが0でないこと(3の倍数でないこと)を確かめましょう。

 

より一般のケースの証明

より一般のケースを考えてみましょう。

\(2,3\)でやったような方法は、素数\(m=p\)の倍数ならば常に成り立ちます。合同式を使うと簡単に議論できるでしょう。

さらに、\(m\)の素因数分解が重複する素数を持たない(素因数がすべて異なる)とき、「\(n^2\)が\(m\)の倍数ならば\(n\)は\(m\)の倍数」は正しいです。

例えば、\(m=10\)のケースを考えましょう。\(m=2\cdot 5\)と素因数分解されます。したがって、\(n^2\)が\(10\)の倍数という仮定は、\(n^2\)が2の倍数かつ5の倍数という仮定になります。\(2,5\)は素数なので、素数のケースから\(n\)は2の倍数かつ5の倍数です。よって、\(n\)は10の倍数であることがわかりました。

この議論は、\(m\)の素因数分解が重複する素数を持たないケースでも同様ですね。

 

一方、\(m\)の素因数分解が重複する素数を持つときは、「\(n^2\)が\(m\)の倍数ならば\(n\)は\(m\)の倍数」は正しくありません。

例えば、\(m=4\)のケースを考えましょう。\(m=2\cdot 2\)と2つの重複する素因数を持ちます。\(n^2\)が4の倍数であることから先程の議論を持ち込むと、\(n\)は2の倍数かつ2の倍数であることとなりますが、これらは同じ条件で、2の倍数以上のことはわかりません。

実際、\(n=6\)を考えると、\(n^2=36\)は\(4\)の倍数ですが、\(n=6\)は\(4\)の倍数ではありません(2の倍数ではあるが)。

以上、平方数と倍数について、n^2がmの倍数ならばnはmの倍数であることの証明を紹介してきました。

意外とこの話の証明が見つかりませんでしたが、それほど難しくない話なので、参考になれば嬉しいです。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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