どうも、木村（@kimu3_slime）です。
今回は、複素関数の主値とは何か、平方根、ルートを例に紹介します。
主値とは：平方根を例に
主値の考え方は、実数としてのルート関数にも既に現れているものです。
例えば、\(x^2 = 2\)という方程式を考えると、その解は\(\sqrt{2},-\sqrt{2}\)の2つがあります。
したがって、\(f(x)= 2乗して2になる数\)という定め方では、値が2つになり、通常の関数ではなくなります。
2つ以上の値を取る「関数」を多価関数（multi-valued function）、通常のように1つの値を取る関数を一価関数（single-valued function）と呼びます。あえて多価関数を定めると言わない限り、関数と言えば1つのインプットに対して1つのアウトプットを対応させる一価関数を考えたいです。
（多価関数をそのまま扱う議論としてリーマン面の話がありますが、ここでは一価関数としての話をしましょう。）
そこで、ルートの記号を使うときは、\(x^2 =2\)を満たす「正の」数として\(\sqrt{2}\)を選びます。\(x^2 =2 \)を満たす数は2つあるわけですが、\(x^2 =2 \)を満たす正の数は常にひとつです。
同様にして、正の数\(a\)に対して、\(x^2 =a\)を満たす正の数を\(\sqrt{a}\)と書くことで、ルート関数\(f(x)= \sqrt{x}\)が一価関数として定まるわけです。多価関数の値をひとつに制限して得られる値は、主値（principal value）と呼ばれます。ルートを定めるときには、正の数として主値を選んでいたわけですね。
では、この状況を複素数に一般化してみましょう。
\(w = \sqrt{z}\)という関数を定めたいとします。つまり、\(w^2 = z\)から、うまく値を制限したいです。
\(z,w\)を\(z= r(\cos \theta + i \sin \theta)\)、\(w= R(\cos \phi +i \sin \phi)\)と極形式で表します。ド・モアブルの公式から、\(w^2 = R^2 (\cos 2 \phi +i \sin 2\phi)\)です。
したがって、\(w^2 =z\)は\(R^2 (\cos 2 \phi +i \sin 2\phi) = r(\cos \theta + i \sin \theta)\)という等式になります。
まず両辺の絶対値が等しいので、\(R^2 =r\)です。したがって、\(R =\sqrt{r} \)（実数のルート）とすれば良いです。
また、両辺の偏角が等しいので、\(2\phi = \theta + 2k \pi\)と表せます。つまり、\(\phi = \frac{\theta}{2}+ k\pi\)です。本質的に異なるものは、\(\frac{\theta}{2} , \frac{\theta}{2}+\pi\)と2つあります。ここで\(k=0\)のときを主値として、
\[ \begin{aligned}\sqrt{z} : = w = \sqrt{r} (\cos \frac{\theta}{2} +i \sin \frac{\theta}{2})\end{aligned} \]
として定めましょう。これは絶対値の大きさを平方根を取り、偏角を半分にする関数になっていますね。
\(0\leq \theta < 2\pi\)のとき、\(\sqrt{z}\)の偏角は\(0\leq \frac{\theta}{2} < \pi\)です。つまり、ガウス平面における上側平面の値を取るものを、ルートとして定めたわけですね。
例として、\(\sqrt{i}\)を求めてみましょう。極形式で表すと、\(i = 1 (\cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2})\)です。
したがって、平方根の定義から
\[ \begin{aligned}\sqrt{i} = \sqrt{1} (\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}) \\= \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\end{aligned} \]
と求められました。
ルート関数
以上の話は、\(n\)乗根により定まるルート関数として一般化できます。
\(w = \sqrt[n]{z}\)という関数を定めたいとします。つまり、\(w^n= z\)から、うまく値を制限しましょう。
極形式で表せば、ド・モアブルの定理から、
\[ \begin{aligned}R^n (\cos n\phi + i \sin n\phi) = r (\cos \theta + i \sin \theta)\end{aligned} \]
となります。絶対値を比較すれば、\(R^n =r\)、すなわち\(R = \sqrt[n]{r}\)です。
偏角を比較すると、\( n\phi = \theta + 2k\pi\)、\(k\)は整数と表せます。整理すると、\(\phi = \frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\)です。\(k=0,1,\dots, n-1\)で、本質的に\(n\)個の解があります。そこで一価関数を得るために、\(k=0\)を主値として選びましょう。すなわち、
\[ \begin{aligned}\sqrt[n]{z} := \sqrt[n]{w}(\cos \frac{\theta}{n} +i \sin \frac{\theta}{n})\end{aligned} \]
と定めるわけです。絶対値の正の\(n\)乗根を取り、偏角を\(1/n\)しています。
\(0\leq \theta < 2\pi\)のとき、\(\sqrt[n]{z}\)の偏角は\(0\leq \frac{\theta}{n} < \frac{2\pi}{n}\)です。つまり、ガウス平面において、角度で言えば円を\(1/n\)した右側の小さな部分で値を取るものを\(\sqrt[n]{z}\)の主値として選んだわけです。
例として、\(\sqrt[3]{i}\)を求めてみましょう。\(i=(\cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2}) \)なので、
\[ \begin{aligned}\sqrt[3]{i} = (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}) \\= \frac{1}{2}(\sqrt{3}+ i)\end{aligned} \]
と求められました。
以上、複素関数の主値、多価関数とは何か、平方根、ルートを例に紹介してきました。
複素対数関数やべき乗関数でも同様の議論をしますが、その簡単なケースとして、ルート関数の主値について理解しておくと良いでしょう。
木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。
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