のこぎり波とは：フーリエ級数展開の求め方

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、のこぎり波とは何か、フーリエ級数展開の求め方を紹介します。

のこぎり波とは
フーリエ級数展開の求め方
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のこぎり波とは

のこぎり波（sawtooth wave）は、のこぎりのようにギザギザとした次の図のような波です。

数学的には、

\[ \begin{aligned}f(x)= x\quad (-\pi < x <\pi)\end{aligned} \]

を周期\(2\pi\)の関数として周期的に拡張（\(f(x)=f(x+2n\pi)\)）したものです。より明示的には、

\[ \begin{aligned}f(x)=x-2\pi \lfloor \frac{x}{2\pi}+\frac{1}{2}\rfloor\end{aligned} \]

と定義できます。ここで\(\lfloor x\rfloor\)は床関数（整数部分）です。

中身に注目すると、\(x= -\pi\)で\(\lfloor \frac{-\pi}{2\pi}+\frac{1}{2}\rfloor=0\)、\(x=\pi\)で\(\lfloor \frac{-\pi}{2\pi}+\frac{1}{2}\rfloor=1\)となっています。これにその周期における変化分\(2\pi\)をかけることで、周期\(2\pi\)ごとに値が\(2\pi\)だけ落ちる不連続な関数が作り出せています。

音として聞いてみるのも良いでしょう。矩形波と比べると、警告音・ビープ音というのか、濁った感じがします。

フーリエ級数展開の求め方

では、のこぎり波のフーリエ級数展開を求めてみましょう。

のこぎり波は奇関数なので、そのフーリエ級数展開は次のように簡単になります。

\[ \begin{aligned}f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x) \sin nx dx\end{aligned} \]

これを計算してみましょう。部分積分によって、

\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x \sin nx dx \\ &=\frac{2}{\pi}([-\frac{1}{n}x\cos nx]_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_0^\pi \cos nx dx)\\ &=\frac{2}{\pi}(-\frac{\pi}{n}\cos n\pi+\frac{1}{n}[\frac{1}{n}\sin nx]_0 ^\pi)\\ &= -\frac{2}{n}\cos n\pi \\&= (-1)^{n-1}\frac{2}{n}\end{aligned} \]

と求められます。

フーリエ係数の分布、各周波数での三角関数\(\sin nx\)の成分の強さ・振幅を、スペクトルとして図示すると次のようになります。