直交補空間、直交直和、直交射影とは：定義と例、証明

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、直交補空間、直交直和、直交射影とは何か、定義と例、証明について紹介します。

部分空間の直交補空間
直交射影
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部分空間の直交補空間

例

線形空間として、\(V = \mathbb{R^2}\)という平面を考えましょう。

これに対して、\(W_1 =\{x \mid x_2 =0\}\)、\(W_2 = \{x \mid x_1 =0\}\)と置くと、これらは1次元の部分空間（直線）です。

部分空間に対しては、その和空間を考えることができました。この例では、\(W_1 +W_2 = \mathbb{R}^2\)となります。さらに、\(x= (x_1,x_2)= (x_1,0)+(0 ,x_2)\)と分解できるので、この和は直和\(\mathbb{R}^2 = W_1 \dot{+} W_2\)です。

中学校の座標平面で学ぶ、いわゆる\(x,y\)軸が直交している状態を表していますね。

2つの部分空間\(W_1,W_2\)が直交していることを正確に言えば、すべての\(x \in W_1\)と\(y \in W_2\)に対して、内積が0 \(\langle x,y\rangle =0\) となることです。

今回の例では、\(x=(x_1,0)\)、\(y=(0,y_1)\)なので、\(\langle x,y\rangle =0\)で、直交していることが見て取れます。

直和であるからといって、必ず直交しているとは限りません。

例えば、\(W_3 =\{x \mid -x_1 +x_2 =0\}\)とすると、\(W_1\)と\(W_3\)は直交していません。

\(x=(1,0) \in W_1\)と\( y=(1,1) \in W_3\)の内積を計算すれば、\(\langle x,y\rangle= 1 \neq 0\)となるので。

ひとつ部分空間があったときに、それに対して直交するような部分空間が、直交補空間です。

\(W_3\)に対する直交補空間\(W_4\)を求めてみましょう。

\(W_3\)の任意の要素は、\((x_1,x_1)\)と表せます。\(W_4\)の要素を\((y_1,y_2)\)とすると、それらが直交するということは、\(\langle x,y\rangle = x_1(y_1+y_2)=0\)がいつでも成り立つことです。つまり、\(y_1+y_2=0\)でなければならない。

すなわち、\(W_4 =\{y \mid y_1+y_2 =0\}\)と置けば、\(W_3\)と\(W_4\)は直交しています。

定義

以上のことを一般化してまとめましょう。\(V\)を内積を持った線形空間（内積空間）で、有限次元とします。

2つの部分空間\(W_1,W_2\)が直交している（orthogonal, perpendicular）とは、すべての\(x \in W_1\)と\(y \in W_2\)に対して、内積が0 \(\langle x,y\rangle =0\) となることです。このとき、\(W_2 =W_1^{\perp} \)と書きます。

また、部分空間\(W_1\)に対して、\(W_1\)と直行するような部分空間が必ず存在します。それを直交補空間（orthogonal complement space）と呼び、\(W_1^{\perp}\)と表します。つまり、

\[ \begin{aligned}W_1 ^{\perp} := \{y \mid すべてのx\in W_1 に対し、\langle x,y\rangle =0\}\end{aligned} \]

です。

\(W_1^{\perp}\)が部分空間であることを確かめてみましょう。

\(y,z \in W_1 ^{\perp}\)、スカラー\(a \)を任意のものとします。さらに\(x \in W_1\)を任意とし、直交性を確かめましょう。内積の線形性より、\(\langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle =0\)なので、\(y+z \in W_1 ^{\perp}\)です。また、再び内積の線形性より、\(\langle x,ay\rangle =a\langle x,y\rangle =0\)なので、\(ay\in W_1 ^{\perp}\)が言えました。

さらに、部分空間とその直交補空間は直和になっています \(V =W_1 \dot{+}W_1^{\perp}\)。

これも確かめてみましょう。

\(W_1, W_1 ^{\perp}\)なので、\(W_1+W_1^{\perp} \subset V\)です。逆の包含関係を示したい。つまり、\(V\)の任意の要素を、\(x= y+z\)、\(y \in W_1, z \in W_1 ^{\perp}\)と和で表したいです。

そこで基底を利用します。\(V\)は内積空間なので、正規直交基底が存在します（シュミットの直交化法）。\(W_1\)の正規直交基底を、\(e_1,\dots,e_k\)とします。

\(y: = \sum_{i=1}^k \langle x,e_i\rangle e_i\)と置きましょう。これは\(x\)の\(e_i\)への射影です。そして\(z= x-y\)と置きます。当然\(x=y+z\)にはなります。

\(y\)は\(W_1\)の基底の線形結合なので、\(y \in W_1\)です。\(y,z\)が直交していることを確かめましょう。内積の線形性、正規直交基底であることを使えば、

\[ \begin{aligned} \langle y,z\rangle &= \langle \sum_{i=1}^k \langle x,e_i\rangle e_i,x -y\rangle \\ &=\sum_{i=1}^k \langle x,e_i\rangle ( \langle e_i,x \rangle – \langle e_i,y \rangle)\\ &=\sum_{i=1}^k \langle x,e_i\rangle ( \langle e_i,x \rangle – \langle x,e_i \rangle \langle e_i,e_i \rangle) \\ &= 0 \end{aligned} \]

と言えました。よって、\(V =W_1 +W_1^{\perp}\)です。

さらに直和であること、\(W_1 \cap W_1 ^{\perp}=\{0\}\)を示します。部分空間の共通部分なので、\(W_1 \cap W_1 ^{\perp} \supset \{0\}\)は良いでしょう。

\(x \in W_1 \cap W_1 ^{\perp}\)を任意の要素とします。直交補空間の定義から\(\langle x,x\rangle =0\)が成り立つわけですが、内積の正定値性から\(x=0\)です。以上より、部分空間とその直交補空間は直和になっていることが言えました。

一般に、部分空間\(W_1 ,W_2\)が直交していて、かつ\(V\)がそれらの直和になっているとき、その和を直交直和（orthogonal direct sum）と呼びます。そして、\(V = W_1 \oplus W_2\)と表します。（\(V= W_1 \perp W_2\)と書くこともあるようです）

直交補空間については、必ず\(V = W_1 \oplus W_1 ^{\perp}\)となるわけです。

次元

直和の次元については、共通部分の次元が0なので、

\[ \begin{aligned}\dim(W_1\dot{+}W_2)=\dim W_1 +\dim W_2 \end{aligned} \]

という単純な等式が成り立ちました。

これを\(W_1\)とその直交補空間\(W_2 = W_1 ^{\perp}\)にあてはめて整理すれば、

\[ \begin{aligned}\dim W_1 ^{\perp}=\dim V -\dim W_1 \end{aligned} \]

となります。直交補空間は、部分空間\(W_1\)において全体から不足した次元を補うだけの次元があるわけです。

例えば、\(\mathbb{R}^3\)において、直線からなる部分空間の直交補空間は平面になります。

直交射影

線形空間を直和分解できると、それに伴って成分分解、射影が存在しするのでした。

今回の議論から、部分空間\(W_1\)があると、\(v \in V\)に対し、\(v =x+y\)、\(x\in W_1, y \in W_1 ^{\perp}\)と一通りに表せます。そこで、

\[ \begin{aligned}P_1 (v) := x\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}P_2 (v) := y\end{aligned} \]

と写像\(P_1,P_2 :V \to V\)を定めましょう。これを部分空間\(W_1,W_1 ^{\perp}\)への射影と呼びます。

特に、\(P_1\)を\(W_1\)への直交射影（orthogonal projection）、正射影と呼びます。\(W_1 \)と\(W_1 ^{\perp}\)は直交しているので、それぞれの射影\(P_1 (v),P_2 (v) \)は必ず直交しています。

\(V= \mathbb{R}^2\)において、\(W_3 =\{x \mid -x_1 +x_2 =0\}\)への直交射影を具体的に考えましょう。直交補空間は、\(W_3 ^{\perp}=W_4 =\{y \mid y_1+y_2 =0\}\)です。

\(W_3\)は1次元で、正規直交基底を\(e_1 \)とします（例えば、\(e_1 =\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)\)）。\(x=(x_1,x_2)\)の\(e_1\)への射影は、\(\langle x,e_1\rangle e_1 \)です。確かに、\((x_1,x_2) = \langle x,e_1\rangle e_1+(x- \langle x,e_1\rangle e_1)\)と置けば良いので。

\[ \begin{aligned} P_1 (x) &= \langle x,e_1\rangle e_1 \\ &=\frac{1}{2}(x_1+x_2,x_1+x_2) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} P_2 (x) &= x- \langle x,e_1\rangle e_1 \\&= \frac{1}{2}(x_1-x_2,-x_1+x_2)\end{aligned} \]

が射影です。