三角形の合同の定義、性質（反射律、対称律、推移律）の証明

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、三角形の合同の性質

反射律　\(\triangle ABC \cong \triangle ABC\)
対称律　\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)ならば、\(\triangle DEF \cong \triangle ABC\)
推移律　\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)かつ\(\triangle DEF \cong \triangle GHI\)ならば、\(\triangle ABC \cong \triangle GHI\)

の証明を紹介します。

合同の定義
合同の性質の証明
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合同の定義

そもそも、2つの三角形が合同である（congruent）\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)とは、その3つの角度と辺の長さが等しいことです。

つまり、\(\angle A = \angle D\)、\(\angle B = \angle E\)、\(\angle C = \angle F\)、\(AB = DE\)、\( BC = EF\)、\(CA = FD\)が成り立つことです。

平行移動や回転、反転によって重なり合う三角形とも言えます。

また、数の等号に関する性質

反射律：すべての\(x \)に対して、\(x=x\)が成り立つ
対称律：すべての\(x,y \)に対して、\(x=y\)ならば\(y=x\)が成り立つ
推移律：すべての\(x,y,z \)に対して、\(x=y\)かつ\(y=z\)ならば、\(x=z\)が成り立つ。

を議論の出発点として、話を進めましょう。

合同の性質の証明

反射律

数の反射律から、\(\angle A = \angle A\)、\(\angle B = \angle B\)、\(\angle C = \angle C\)、\(AB = AB\)、\( BC = BC\)、\(CA = CA\)が成りたちます。よって、合同の定義から、\(\triangle ABC \cong \triangle ABC\)です。

対称律

仮定\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)から、\(\angle A = \angle D\)、\(\angle B = \angle E\)、\(\angle C = \angle F\)、\(AB = DE\)、\( BC = EF\)、\(CA = FD\)が成りたちます。

数の対称律を用いれば、\(\angle D = \angle A\)、\(\angle E = \angle B\)、\(\angle F = \angle C\)、\(DE = AB\)、\( EF = BC\)、\(FD = CA\)です。したがって、\(\triangle DEF \cong \triangle ABC\)となります。

推移律

仮定「\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)かつ\(\triangle DEF \cong \triangle GHI\)」から、

\(\angle A = \angle D\)、\(\angle B = \angle E\)、\(\angle C = \angle F\)、\(AB = DE\)、\( BC = EF\)、\(CA = FD\)
\(\angle D= \angle G\)、\(\angle E = \angle H\)、\(\angle F = \angle I\)、\(DE = GH\)、\( EF = HI\)、\(FD = IG\)

です。数の推移律を用いれば、