各点連続、一様連続、リプシッツ連続の違い：イプシロンデルタ論法を具体的に

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、各点連続、一様連続、リプシッツ連続の違いを題材として、イプシロンデルタ論法について紹介したいと思います。

各点連続、一様連続、リプシッツ連続の違い
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各点連続、一様連続、リプシッツ連続の違い

各点連続、一様連続、リプシッツ連続の定義

高校数学の微積分の分野では、しばしば連続な関数や微分可能な関数を考えます。

実は、連続関数といっても、細かく見ると連続性の「強さ」に違いがあるのです。例えば、\(f(x)=\frac{1}{x}\)、\(g(x) = \sqrt{x}\)、\(h(x) = |x|\)は違った連続性を持ちます。それが以下で紹介する定義です。

\(A \subset \mathbb{R}\)、\(f :A \to \mathbb{R}\)としましょう。

\(f\)が\(A\)上で（各点）連続（pointwise continuous, continuous everywhere）であるとは、すべての\(x \in A\)とすべての\(\varepsilon >0\)に対し、「\(y\in A\)が\(|x-y|<\delta\)を満たすならば\(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)」を満たす\(\delta >0\)が存在することです。これはすべての\(x \in A\)に対し、\(\lim _{y\to x}f(y) =f(x)\)の言い換えです。

\(f\)が\(A\)上で一様連続（uniform continuous）であるとは、すべての\(\varepsilon >0\)に対し、「\(x,y\in A\)が\(|x-y|<\delta\)を満たすならば\(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)」を満たす\(\delta >0\)が存在することです。

\(f\)が\(A\)上でリプシッツ連続（Lipschitz continuous）であるとは、「すべての\(x,y \in A\)に対し、\(|f(x)-f(y)|\leq L |x-y|\)」を満たす\(L \geq 0\)が存在することです。

一般論として、有界閉集合上において、連続微分可能な関数（\(C^1\)）はリプシッツ連続、リプシッツ連続な関数は一様連続、一様連続な関数は各点連続であることが知られています。

\(C^1, \mathrm{Lip}, \mathrm{UC} ,C\)をそれぞれ連続微分可能、リプシッツ連続、一様連続、各点連続な関数のなす集合とすると、\(C^1 \subset \mathrm{Lip}\subset \mathrm{UC} \subset C\)と表せます。

しかし、その逆は一般に成り立ちません。それを示す例を通して、これらの定義が意味するところを感じてみましょう。

各点連続であるが一様連続ではない例

逆数関数\(f(x)=\frac{1}{x}\)を開区間\((0,1)=\{x \in \mathbb{R} \mid 0<x<1\}\)上で考えましょう。

\(f\)は\((0,1)\)上で各点連続です。

\(x \in (0,1), \varepsilon > 0\)とします。\(\delta >0\)の選び方を決めるために、式変形をしてみましょう。\(x,y \in (0,1)\)のとき、

\(\begin{aligned} |f(x)-f(y)|&= |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}| \\ &= |\frac{y-x}{xy}| \end{aligned}\)

です。分子\(|y-x|\)は小さくできます。分母は\(y\)を含んでいますが、\(\delta \)は\(x\)に依存して良いものの、\(y\)に依存して選んではいけません。\(y\)を\(x\)によって評価しましょう。

三角不等式より\(||x|- |y||\leq |x-y|\)なので、\(|x-y| < \frac{|x|}{2}\)という条件をつければ、\(-\frac{|x|}{2} < |x| -|y|< \frac{|x|}{2}\)、特に\(\frac{|x|}{2}< |y|\)となります。

そこで、\(\delta = \min\{\frac{\varepsilon x^2}{4},\frac{|x|}{2}\}\)と置きましょう。すると、\(|x-y|< \delta\)ならば、

\(\begin{aligned} |f(x)-f(y)| &= |\frac{x-y}{xy}| \\ &\leq 2\frac{|x-y|}{x^2} \\ &\leq \frac{2}{x^2} \frac{\varepsilon x^2}{4}\\ &< \varepsilon\end{aligned}\)

が成り立ち、連続であることが示せました。

\(f\)は\((0,1)\)上で一様連続ではありません。

各点連続の証明では、\(\delta >0\)を考える点\(x\)に依存して選びました。一様連続の定義では、\(\delta\)は\(x\)に依存せず選ばなければなりませんが、この例ではそれが不可能です。

一様連続の否定は、「すべての\(\delta >0\)に対し、「\(|x-y|< \delta\)かつ\(|f(x) -f(y)| \geq \varepsilon\)」を満たす\(x,y \in A\)が存在する」ような\(\varepsilon >0\)が存在することです。

参考：述語論理、量化子とは：全称記号（∀）と存在記号（∃）、数学における例と否定

つまり、変数の変化\(|x-y|\)をどれだけ小さくしても、値の変化\(|f(x)-f(y)|\)が一定以上になる、ということが一様連続でないことです。\(f(x)= \frac{1}{x}\)においてこの状況が起こるのは、変化が大きくなる原点付近と予想できますね。

\(\varepsilon ,x,y\)の選び方を決めるために、式を変形してみましょう。\(x = \delta, y= \frac{\delta}{2}\)としてみると、\(|x-y|= \frac{\delta}{2} <\delta\)を満たし、

\(\begin{aligned} |f(x)-f(y)| &= |\frac{x-y}{xy}| \\ &= \frac{\frac{\delta}{2}}{ \frac{\delta ^2}{2}} \\ &= \frac{1}{\delta}\end{aligned}\)

です。\(\delta\)が小さい時（\(0< \delta <1\)）、この値は\(1\)より大きくなります。

\(\delta \geq 1\)のときは、\(x= \frac{1}{2},y = \frac{1}{4} \)とでも選べば、\(|x-y|= \frac{1}{4} \leq \delta\)であり、

\(\begin{aligned} |f(x)-f(y)| &= 2 \\ &\geq 1 \end{aligned}\)

です。

よって、\(\varepsilon = 1\)とすれば、すべての\(\delta >0\)に対し、\(|x- y| < \delta\)かつ\(|f(x)-f(y)| \geq \varepsilon\)を満たす\(x,y \in (0,1)\)が存在することがわかりました。

どんなに変化\(|x-y|\)が小さかったとしても、値\(|f(x)-f(y)|\)が\(1\)以上変化してしまうような点があることが、\(\frac{1}{x}\)が一様連続でないことの意味です。

ちなみに、\(0\)を含まない有界な閉区間で考えれば、\(f\)は一様連続になります。

一様連続ではあるがリプシッツ連続ではない例

平方根関数\(g(x) = \sqrt{x}\)を閉区間\([0,1]\)上で考えましょう。

\(g\)は\([0,1]\)上で一様連続です。

まず、関数の値を都合よくなるよう評価してみます。\(x \geq y\)と仮定すれば、\(g\)は単調増加であることから\(\sqrt{x} \geq \sqrt{y}\)であり、

\(\begin{aligned} |g(x)-g(y)| &= |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\\ &= \sqrt{x}-\sqrt{y} \\ &< \sqrt{y+ \delta}- \sqrt{y} \\ &\leq \sqrt{y}+\sqrt{\delta}-\sqrt{y} \\ &= \sqrt{\delta}\end{aligned}\)

が成り立てば良さそうです。\(y> x\)のときは、入れ替えて同様に示せます。

\(\sqrt{y+\delta} \leq \sqrt{y}+\sqrt{\delta}\)は、2乗の差が\((\sqrt{y}+\sqrt{\delta}) ^2 -( \sqrt{y+\delta})^2 \geq 0\)となることから、平方根を取って示せます。

\( \sqrt{x}<\sqrt{y+ \delta}\)はどうでしょうか。\(x-y \leq|x-y| <\delta\)となるとき、\(x < y+\delta\)となるので、\(x \geq 0\)に気をつけて平方根を取れば、成り立つことがわかります。

よって、任意の\(\varepsilon>0\)に対し、\(\delta = \frac{\varepsilon ^2}{2}\)と置けば、\(|x-y|< \delta\)を満たすすべての\(x,y \in [0,1]\)に対し、

\(\begin{aligned} |g(x)-g(y)| &\leq \sqrt{\delta} \\ &< \varepsilon \end{aligned}\)

が成り立つことがわかりました。

一方、\(g\)はリプシッツ連続ではありません。

リプシッツ連続の式\(\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\leq L \)は、点\(x,y\)に依存せず傾きが一定以下であることを示しています。リプシッツ連続であることを示すには、\(L\)は\(x,y\)を使って定めてはいけません。

\(g(x) = \sqrt{x}\)は、原点に傾くほどその傾きが急になり、一定の値で抑えることができません。

リプシッツ連続でないとは、すべての\(L \geq 0\)に対し、\(|g(x)-g(y)| > L |x-y|\)を満たす\(x,y \in [0,1]\)が存在することです。それを示しましょう。

\(L \geq 0\)としましょう。\(L=0\)のときは、\(x =1,y=0\)とすれば\(|g(1)-g(0)|=1 > 0\)が成り立ちます。

\(L>0\)のケースを考えます。関数の値を評価すると、

\(\begin{aligned} |g(x)-g(y)| &= \frac{|(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \\ &= \frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\end{aligned}\)

となります。分母を\(L\)を使って評価できれば良いでしょう。\(\sqrt{x}, \sqrt{y} <\frac{1}{2L}\)となるように\(x,y \in [0,1]\)、\(x\neq y\)を選べば、

\(\begin{aligned} |g(x)-g(y)| &= \frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}　\\ &> \frac{|x-y|}{\frac{2}{2L}} \\ &= L |x-y|\end{aligned}\)

となります。具体的には例えば、\(x= \min\{\frac{1}{8L^2},1\},y=0\)とすると、\(x,y \in [0,1]\)、\(x \neq y\)、\(\sqrt{x}, \sqrt{y} <\frac{1}{2L}\)を満たすので、

\(\begin{aligned} |g(x)-g(y)| &> L |x-y|\end{aligned}\)

が成り立つと言えました。

どんなに小さな傾き\(L\)を考えても、平方根\(g(x)=\sqrt{x}\)の傾きがそれより大きくなる2点が存在するわけです。

リプシッツ連続ではあるが微分可能でない例

絶対値関数\(h(x)=|x|\)を、開区間\((-1,1)\)において考えましょう。

\(h\)は\((-1,1)\)においてリプシッツ連続です。

\(L=1\)としましょう。三角不等式より、すべての\(x,y \in (-1,1)\)について、

\(\begin{aligned} |h(x)-h(y)| &= ||x|-|y|| \\ &\leq |x-y|\\&= L|x-y| \end{aligned}\)

となるので。

\(h\)は\(x= 0\)において微分可能ではありません。

微分の定義式（ニュートン商）において、\(x=0\)に関する右側極限が\(1\)、左側極限が\(-1\)なので。

一般論と応用

これまでの例を通して、各点連続、一様連続、リプシッツ連続の違いを感じられたでしょうか。

最後に、これらの性質に関する一般論、応用を紹介しましょう。

関数は、一様連続ならばリーマン可積分であることが知られています。

また、コンパクト集合（有界閉集合）上で各点連続な関数は、一様連続となります（ハイネ・カントールの定理）。これらを合わせれば、有界閉集合上の連続関数は、可積分です。

これらは積分可能性を調べるための簡単な条件です。

\( \begin{aligned}\frac{dx}{dt}= f(x,t) ,\quad x(0)=x_0\end{aligned} \)という常微分方程式は、\(f\)が\(t\)について連続で、\(x\)についてリプシッツ連続ならば、唯一つの解を持つことが知られています（常微分方程式の解の存在と一意性）。

実際、\(f(x)=\sqrt{x}, x(0)= 0\)というリプシッツ連続でない例を考えると、解の一意性は成り立ちません。

今回は紹介しませんでしたが、一様連続とリプシッツ連続の間には、ヘルダー連続（Hölder continuous）という考え方があります。例えば、\(g(x)= \sqrt{x}\)は次数\(\alpha = \frac{1}{2}\)のヘルダー連続な関数です。

以上、各点連続、一様連続、リプシッツ連続の違いを通して、イプシロンデルタ論法について紹介してきました。イメージでいえば、