おもり2つのバネの運動方程式（連成振動）：ラプラス変換による解き方

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、おもり2つのバネの運動方程式（連成振動）とは何か、そのラプラス変換による解き方を紹介します。

おもり2つのバネの運動方程式
ラプラス変換による解き方、連成振動
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おもり2つのバネの運動方程式

右側を正の向きとして、2つのおもりに働く力を考えましょう。簡単のため、それぞれのおもりの重さは等しく、ばね定数も等しい状況を考えています。

おもり1に働く力は、まず左側のバネから\(-kx_1\)があります。真ん中のバネから力を受けるわけですが、それは真ん中のバネの基準からの変位に依存します。変位は\(x_2-x_1\)なので、\(k(x_2-x_1)\)が真ん中のバネによる力です。結果として、\(F_1 = -kx_1+k(x_2-x_1)\)となります。

おもり2についても同様に考えて、\(F_2 = -k(x_2-x_1)-kx_2\)となります。真ん中のバネによる力の向きに注意しましょう。

以上をまとめて運動方程式を立てると、

\[ \begin{aligned}m \frac{d^2x_1}{dt^2}= -kx_1+k(x_2-x_1)\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}m \frac{d^2 x_2}{dt^2}=-k(x_2-x_1)-kx_2\end{aligned} \]

となりました。

以降では簡単のため、\(m=1\)のケースを考えます。

ラプラス変換による解き方、連成振動

得られた微分方程式を、ラプラス変換によって解いていきましょう。

初期条件を\(x_1(0)=1,\frac{dx_1}{dt}(0)=1\)、\(x_2(0)=1,\frac{dx_2}{dt}=-1\)としたときの解を求めてみます。

\(L(f^{\prime \prime}) = s^2 L(f) -sf^{\prime}(0)-f^{\prime \prime}(0)\)を使うと、

\[ \begin{aligned}s^2L(x_1)-s-1\\= -kL(x_1)+k(L(x_2)-L(x_1))\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}s^2L(x_2)-s+1\\=-k(L(x_2)-L(x_1))-kL(x_2)\end{aligned} \]

で、整理すると

\[ \begin{aligned}(s^2+2k)L(x_1)-kL(x_2)=s+1\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}-kL(x_1)+(s^2+2k)L(x_2)=s-1\end{aligned} \]

となります。さらにこれを解けば、

\[ \begin{aligned}(s^2+2k – \frac{k^2}{s^2+2k})L(x_1)\\=s+1+k\frac{s-1}{s^2+2k}\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}(s^2+2k – \frac{k^2}{s^2+2k})L(x_2)\\=s-1+k\frac{s+1}{s^2+2k}\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} L(x_1)&=\frac{(s^2+2k)(s+1)+k(s-1)}{(s^2+2k)^2 – k^2}\\ &=\frac{s^3+s^2+3ks+k}{(s^2+k)(s^2+3k)} \\ &=\frac{s(s^2+3k)+(s^2+k)}{(s^2+k)(s^2+3k)}\\&= \frac{s}{s^2+k} +\frac{1}{s^2+3k}\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} L(x_2)&=\frac{(s^2+2k)(s-1)+k(s+1)}{(s^2+2k)^2 – k^2}\\ &=\frac{s^3-s^2+3ks-k}{(s^2+k)(s^2+3k)} \\ &=\frac{s(s^2+3k)-(s^2+k)}{(s^2+k)(s^2+3k)}\\&= \frac{s}{s^2+k} -\frac{1}{s^2+3k}\end{aligned} \]

となります。三角関数のラプラス変換

\[ \begin{aligned}L(\cos \omega t )= \frac{s}{s^2+\omega^2}\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}L(\frac{1}{\omega }\sin \omega t)= \frac{1}{s^2+\omega^2}\end{aligned} \]

を用いて逆ラプラス変換すれば、

\[ \begin{aligned}x_1=\cos( \sqrt{k}t)+\frac{1}{\sqrt{3k}}\sin(\sqrt{3k} t)\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}x_2=\cos( \sqrt{k}t)-\frac{1}{\sqrt{3k}}\sin(\sqrt{3k} t)\end{aligned} \]

と解が得られました。

それぞれが、周期の短い振動と周期の長い振動の重ね合わせになっています。このような2つおもりとバネの相互作用による振動は、連成振動（coupled oscillation）と呼ばれるものです。