指数関数の線形独立性とヴァンデルモンドの行列式の求め方

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、指数関数の線形独立性について調べ、その中で表れるヴァンデルモンドの行列式の求め方、応用を紹介します。

線形微分方程式の解\(u_1,\dots,u_n\)が線形独立であるかどうかは、

\[ \begin{aligned}W(u_1,\dots,u_n)(t):= \det \begin{pmatrix} u_1& \dots &u_n\\ \frac{d u_1}{dt}&\cdots& \frac{d u_n}{dt} \\ \vdots & \vdots \\ \frac{d^{n-1} u_1}{dt^{n-1}}&\cdots& \frac{d^{n-1} u_n}{dt^{n-1}}\end{pmatrix}\end{aligned} \]

ロンスキアンと呼ばれる行列式が0でないかどうかによって調べることができます。

参考：ロンスキアンによる線形独立性の判定、証明

今回は、\(u_1 (t)= e^{\lambda _1 t}\)、…、\(u_n (t) = e^{\lambda_n t}\)といった指数関数が線形独立かどうか調べてみましょう。ただし、\(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)は互いに異なる複素数です。

行列式の性質を使ってロンスキアンを計算すると、

\[ \begin{aligned} &W(u_1,\dots,u_n)(t)\\&= \det \begin{pmatrix} e^{\lambda _1 t}& \dots &e^{\lambda _n t}\\ \lambda_1 e^{\lambda _1 t}&\cdots&\lambda_n e^{\lambda _n t} \\ \vdots & \vdots \\ \lambda_1^{n-1}e^{\lambda _1 t}&\cdots& \lambda_n^{n-1}e^{\lambda _n t}\end{pmatrix} \\ &= e^{(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)t} \det \begin{pmatrix} 1& \dots &1\\ \lambda_1 &\cdots&\lambda_n \\ \vdots & \vdots \\ \lambda_1^{n-1}&\cdots& \lambda_n^{n-1}\end{pmatrix}\end{aligned} \]

となります。係数の指数部分は0にならないので、残りの部分の行列式が0になるかどうか次第です。

ここで登場する行列式

\[ \begin{aligned}V_n :=\det \begin{pmatrix} 1& \dots &1\\ \lambda_1 &\cdots&\lambda_n \\ \vdots & \vdots \\ \lambda_1^{n-1}&\cdots& \lambda_n^{n-1}\end{pmatrix}\end{aligned} \]

には、ヴァンデルモンドの行列式（Vandermonde determinant）、コーシーの行列式という名前がついています。文献によってはその転置行列を考えていますが、行列式の値は転置を取っても変わらないので同じです。

その値は、

\[ \begin{aligned}V_n = \prod_{1 \leq i <j \leq n} (\lambda_j -\lambda_i)\end{aligned} \]

と表すことができます。右辺は差積（product of differences）、ヴァンデルモンドの多項式と呼ばれるものです。\(\Delta (\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)と書くことも。

\(i<j\)を満たすすべての\(i,j\)について積を取った量です。例えば\(n=3\)ならば、\(V_3 =(\lambda _2-\lambda_1)(\lambda _3-\lambda_1)(\lambda _3-\lambda_2)\)ですね。

ヴァンデルモンドの行列式が差積で表せることがわかれば、\(\lambda_1,\dots, \lambda_n\)は互いに異なるので、行列式は0になりません。したがって、ロンスキアンが0でないことがわかり、指数関数の線形独立性がわかりました。異なる指数部分を持つ指数関数は、線形微分方程式の基本解となるわけです。

では、

\[ \begin{aligned}V_n = \prod_{1 \leq i <j \leq n} (\lambda_j -\lambda_i)\end{aligned} \]

となることを、数学的帰納法によって確かめましょう。

まず\(n=2\)のときは、

\[ \begin{aligned} V_2 &= \det \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda_1 &\lambda_2 \end{pmatrix} &= \lambda_2 -\lambda_1\end{aligned} \]

なので、結論は正しいです。

続いて、\(n=k\)のとき結論が正しいと仮定します。\(n=k+1\)のときを考え、行列式の性質、余因子展開を使って計算しましょう。

\[ \begin{aligned} &V_{k+1} \\&= \det \begin{pmatrix} 1& \dots &1\\ \lambda_1 &\cdots&\lambda_{k+1} \\ \vdots & \vdots \\ \lambda_1^{k}&\cdots& \lambda_{k+1}^{k}\end{pmatrix}\\ &= \det \begin{pmatrix} 1&0 &\dots &0\\ \lambda_1 &(\lambda_2-\lambda_1)&\cdots&(\lambda_{k+1} -\lambda_1) \\ \vdots && \vdots \\ \lambda_1^{k}&(\lambda_2^{k}-\lambda_1^{k})&\cdots& (\lambda_{k+1}^{k}-\lambda_1^{k})\end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} (\lambda_2-\lambda_1)&\cdots&(\lambda_{k+1} -\lambda_1) \\ \vdots & \vdots \\ (\lambda_2^{k}-\lambda_1^{k})&\cdots& (\lambda_{k+1}^{k}-\lambda_1^{k})\end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} (\lambda_2-\lambda_1)&\cdots&(\lambda_{k+1} -\lambda_1) \\ (\lambda_2^2-\lambda_1^2)-\lambda_1(\lambda_2-\lambda_1)&\cdots&(\lambda_{k+1} -\lambda_1) -\lambda_1(\lambda_{k+1}-\lambda_1)\\ \vdots & \vdots \\ (\lambda_2^{k}-\lambda_1^{k})-\lambda_1(\lambda_2^{k-1}-\lambda_1^{k-1})&\cdots& (\lambda_{k+1}^{k}-\lambda_1^{k})-\lambda_1(\lambda_{k+1}^{k-1}-\lambda_1^{k-1})\end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} (\lambda_2-\lambda_1)&\cdots&(\lambda_{k+1} -\lambda_1) \\ \lambda_2 (\lambda_2 -\lambda_1)&\cdots& \lambda_{k+1}(\lambda_{k+1} -\lambda_1) \\ \vdots & \vdots \\ \lambda_{2}^{k-1}(\lambda_2-\lambda_1)&\cdots& \lambda_{k+1}^{k-1}(\lambda_{k+1}-\lambda_1)\end{pmatrix}\\ &= \prod _{1 < j\leq {k+1}} (\lambda _j -\lambda_1) \det \begin{pmatrix} 1&\cdots& 1\\ \lambda_2 &\cdots&\lambda_{k+1}\\ \vdots & \vdots \\ \lambda_2^{k-1}&\cdots& \lambda_{k+1}^{k-1}\end{pmatrix} \end{aligned} \]

となります。ここで帰納法の仮定から、最後の行列式が計算できて、

\[ \begin{aligned} &V_{k+1}\\&= \prod _{1 < j\leq {k+1}} (\lambda _j -\lambda_1) \prod _{2 \leq i<j \leq{k+1}} (\lambda_{j}-\lambda_i) \\ &= \prod _{1 \leq i<j \leq{k+1}} (\lambda_{j}-\lambda_i) \end{aligned} \]

と結論を示すことができました。

ヴァンデルモンドの差積による表示は、多項式の性質（因数定理）によって示すこともできます。

また、今回はヴァンデルモンドの行列式を指数行列の線形独立性を示すために応用しましたが、異なる\(n\)点を通る\(n-1\)次の多項式関数を求めるときにも登場します。

以上、指数関数の線形独立性とヴァンデルモンドの行列式の求め方について紹介してきました。

僕は初めてヴァンデルモンドの行列式を知ったとき、それがどう応用されるかを知りませんでした。指数関数のロンスキアンの例を知ると、行列式の値を知って何が嬉しいかわかりますね。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。