負のべき乗の広義積分の収束・発散条件

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、負のべき乗の広義積分の収束・発散条件、判定方法を紹介します。

結論から述べましょう。区間は\((0,1)\)または\((1,\infty)\)のケースを考えます。

次数を\(p>0\)とする。

\(p<1\)のとき、\(\int_0 ^1 \frac{1}{x^p}dx \)は収束する。

\(p \geq 1\)のとき、\(\int_0 ^1 \frac{1}{x^p}dx \)は発散する。

\(p<1\)のとき、\(\int_1 ^\infty \frac{1}{x^p}dx \)は発散する。

\(p \geq 1\)のとき、\(\int_1 ^\infty \frac{1}{x^p}dx \)は収束する。

広義積分は、通常の積分の極限として定義されています。

\[ \begin{aligned}\int_0 ^1 \frac{1}{x^p}dx:= \lim_{c \searrow 0}\int_c ^1 \frac{1}{x^p}dx\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}\int_1 ^\infty \frac{1}{x^p}dx:= \lim_{c \to \infty}\int_1 ^c \frac{1}{x^p}dx\end{aligned} \]

参考：広義積分とは何か、なぜ学ぶか（ガウス積分とガンマ関数）

では、これらの広義積分の収束・発散を確かめてみましょう。

最初に、区間\((0,1)\)のケースを考えます。

\(p \neq 1\)のときは、

\[ \begin{aligned} \int_c ^1 \frac{1}{x^p}dx &= [ -\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}]_c ^1 \\ &= \frac{1}{(p-1)c^{p-1}}-\frac{1}{p-1}\ \end{aligned} \]

です。\(c \to 0 \)のときに、最初の項は\(p>1\)ならば発散し、\(p<1\)ならば0に近づきます。よって、\(p<1\)のときは

\[ \begin{aligned}\int_0 ^1 \frac{1}{x^p}dx = -\frac{1}{p-1} \end{aligned} \]

で、\(p>1\)のときは

\[ \begin{aligned}\int_0 ^1 \frac{1}{x^p}dx= \infty\end{aligned} \]

となりました。

\(p=1\)のときは、

\[ \begin{aligned} \int_c ^1 \frac{1}{x}dx &= [ \log x]_c ^1 \\ &= -\log c\ \end{aligned} \]

で、\(\lim_{c\to 0} \log c = -\infty\)なので、

\[ \begin{aligned}\int_0 ^1 \frac{1}{x^p}dx= \infty\end{aligned} \]

となることがわかりました。

同様に、区間\((0,\infty)\)のケースを考えましょう。

\(p \neq 1\)のときは、

\[ \begin{aligned} \int_1^c \frac{1}{x^p}dx &= [ -\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}]_1 ^c \\ &= \frac{1}{p-1} -\frac{1}{(p-1)c^{p-1}}\ \end{aligned} \]

です。\(c \to \infty \)のときに、2番目の項は\(p>1\)ならば収束し、\(p<1\)ならば発散します。よって、\(p<1\)のときは

\[ \begin{aligned}\int_1 ^\infty \frac{1}{x^p}dx = \infty \end{aligned} \]

で、\(p>1\)のときは

\[ \begin{aligned}\int_1 ^\infty \frac{1}{x^p}dx= \frac{1}{p-1}\end{aligned} \]

となりました。

\(p=1\)のときは、

\[ \begin{aligned} \int_1 ^c \frac{1}{x}dx &= [ \log x]_1 ^c \\ &= \log c\ \end{aligned} \]

で、\(\lim_{c\to \infty } \log c = \infty\)なので、

\[ \begin{aligned}\int_1 ^\infty \frac{1}{x^p}dx= \infty\end{aligned} \]

となることがわかりました。

今回の結果を関数空間\(L^p\)の言葉で言い換えてみましょう。関数\(f\)が区間\(I\)において\(p\)乗可積分である

\[ \begin{aligned}\|f\|_{L^p(I)}^p :=\int_I |f(x)|^p dx < \infty\end{aligned} \]

とき、\(f \in L^{p}(I)\)と書くことにします。今回の結果を言い換えれば、

\(p<1\)のとき、\(\frac{1}{x} \in L^p((0,1))\)

\(p \geq 1\)のとき、\(\frac{1}{x} \not\in L^p((0,1))\)

\(p<1\)のとき、\(\frac{1}{x} \not\in L^p((1,\infty))\)

\(p \geq 1\)のとき、\(\frac{1}{x} \in L^p((1,\infty))\)

となりますね。べきの次数によって可積分性が変わるという結果が、どんな関数空間に属するか、という言い換えられています。

今回の結果は、次のようにして考えれば覚えやすいでしょう。

\(\frac{1}{x^p}\)の積分を考えるのだから、原始関数はおよそ\(\frac{1}{x^{p-1}}\)です。ここで、\(x \to 0\)や\(x \to \infty\)としたときの挙動は、\(p\)が1より大きいか小さいかによって変わってきますね。それによって収束か発散か判断できます。\(p=1\)のケースは\(\log x\)が出てきますが、発散の要因になっていますね。

また、今回は\((0,1),(1,\infty)\)という区間の分け方を考えました。もう少し一般化するなら、\((a,b),(b, \infty)\)と分けて、\(\int \frac{1}{(x-a)^p} dx\)についても同様の主張が成り立ちます。負の無限大に向けて\((-\infty ,b),(b,a)\)と分けても同様です。

以上、負のべき乗の広義積分の収束・発散条件を紹介してきました。

負のべき乗は計算しやすく、一般的な関数をこれらと比較することで、広義積分の収束・発散の判定をするために使うことができます。

理屈としても難しくないので、べきの強さで収束・発散が変わることに納得して使ってみてはいかがでしょうか。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。