2直線の交点を通る直線をなぜkを使って表すか

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

高校数学の図形と方程式の分野では、2直線の交点を通る直線を

\[ax+by+c +k(a^{\prime}x +b^{\prime }y +c^{\prime})=0\]

と\(k\)を使って表す、という考え方をすることがあります。これはなぜなのか、簡単な例からわかりやすく紹介していきましょう。

 

1点を通る直線の方程式

まず問題を分割して、ある1点を通る直線の方程式はどのように表されるか、について考えましょう。

例えば、原点\((0,0)\)を通る直線の方程式はどう表したら良いでしょうか。\(y=x\)、\(y=2x\)、\(y=\frac{1}{2} x\)、いろいろな直線がありますね。

直線は例えば、一次関数\(y=ax+b\)で表されますが、\(a\)を\(k\)に置き換えて、原点を通ることから\(b=0\)とすれば

\[y=kx\]

と表されます。何らかの直線が与えられたときに、それに応じて傾き\(k\)を決めれば良いわけです。

ただし、これで原点を通る「全ての」直線が表されているわけではないことに注意しましょう。\(y\)軸に平行な直線、\(x=0\)は\(y=kx\)の形には表されませんが、原点を通る直線の方程式ではあります。

 

2直線の交点を通る直線の方程式

では、2つの直線の交点を通る直線の方程式について考えましょう。

簡単な例として、\(y=x\)と\(y=3x -6\)の交点を通る直線の方程式を表したいとします。

交点を具体的に求めるなら、\(y=x\)と\(y=3x-6\)の両方を満たす\((x,y)\)を探せば良いです。これを解けば、\(x=3,y=3\)が得られます。

\((3,3)\)を通り、傾きが1の直線は、\(y=(x-3)+3\)です。この傾きを\(k\)と一般的に表せば、\(y=k(x-3)+3\)が、2直線の交点を通る直線の方程式となりました。

\(k\)の値が何であろうが、\(x=3,y=3\)はこの方程式を成り立たせていることを確かめてみてください。

 

この方程式\(y=k(x-3)+3\)はぱっと見だと、

\[ax+by+c +k(a^{\prime}x +b^{\prime }y +c^{\prime})=0\]

という形をしていないので、この形がどうやったら得られるか考えてみます。

少し見方を変えて、2の直線\(y=x\)と\(y=3x-6\)の両方を満たす点\((x,y)\)を考えましょう。それは交点そのものですが、ここではそれを具体的に表さず、\((x,y)\)のまま話を進めます。言い換えれば、

\[-x+y=0\]

\[-3x+y+6=0\]

の両方を満たします。ここで一方の式を、適当に\(k\)倍しても、右辺は\(0\)なので、

\[k(-3x+y+6)=0\]

が成り立ちます。そして2つの方程式を足し合わせると、

\[(-x+y)+k(-3x+y+6)=0\]

が得られました。

この方程式は、そもそもが\((x,y)\)が\(y=x\)と\(y=3x-6\)の両方を満たすという条件で進めたので、交点を通っています。実際、交点\((3,3)\)を代入してみると、成り立っていることを確かめてみてください。

さらに、この方程式は直線の方程式です。なぜなら、\(x,y\)について整理すると

\[(-3k-1)x+(k+1)y+6k=0\]

です。これは\(ax+by+c=0\)という直線の方程式の形をしていますね。\(k \neq -1\)のときは、傾きが\(\frac{3k+1}{k+1}\)の直線です。\(k=-1\)のときは、\(y\)の部分が消え、\(x=3\)という直線になっています。

 

途中で、直線の方程式の一方を\(k\)倍しましたね。

なぜそんなことをするかといえば、交点を通るいろいろな直線の式を文字\(k\)を使って表したいからです。

\(k\)を使わずに書くと、例えば\((-x+y)+1(-3x+y+6)=0\)も2つの直線の交点を通る直線の方程式です。しかし、それは傾きが\(2\)の特殊なものでしかありません。

「2つの直線の交点と、もうひとつ別の点を通る直線の方程式を求めよ」という問題を考えたいとします。交点を通るたくさんの直線の式を文字\(k\)を使って表しておけば、その別の点が決まったときに\(k\)を具体的に求められて、便利ですね。

試しにやってみましょう。\(y=x\)と\(y=3x-6\)の交点を通り、\((-1,0)\)を通る直線の方程式を求めてみます。

\(k\)を実数として、

\[(-x+y)+k(-3x+y+6)=0\]

という方程式は、2直線の交点を通る直線の方程式です。そして、\((-1,0)\)を通るので、それを代入すれば、

\[1+0+k(3+0+6)=0\]

より、\(k=-\frac{1}{9}\)です。よって、

\[-\frac{2}{3}x +\frac{8}{9}y -\frac{2}{3} =0\]

整理して

\[-3x +4y -3 =0\]

が求める直線の方程式であるとわかりました。

画像引用:Wolframalpha

 

一般化

以上で述べたことを一般化します。

直線\(f(x,y)=ax+by+c \)と直線\(g(x,y)=a^{\prime}x +b^{\prime }y +c^{\prime}\)の交点を通る直線の方程式を一般的な形で表したいとします。定数\(k\)を使って

\[ax+by+c +k(a^{\prime}x +b^{\prime }y +c^{\prime})=0\]

\[f(x,y)+k g(x,y)=0\]

と表される直線は、2直線の交点を通っています。

なぜなら、\(x,y\)が交点であるならば、\(f(x,y)=ax+by+c =0\)と\(g(x,y)=a^{\prime}x +b^{\prime }y +c^{\prime}=0\)を同時に満たしているので。

 

\(k\)はどちらにつけても大丈夫です。

\[kf(x,y)+g(x,y)=0\]

も、2つの直線の交点を通る直線の方程式ですね。\(x,y\)が交点ならば、\(f=0,g=0\)が両方成り立つので。

 

ただし、2直線の交点を通る「すべての」直線が、\(k\)を使って\(f(x,y)+k g(x,y)=0\)と表される、とは言っていないことに注意しましょう。これを答案に述べたら間違いです。

\(k\)がかかっている方の直線\(g(x,y)=a^{\prime}x +b^{\prime }y +c^{\prime}\)は、この方程式では表せていません。なぜなら、必ず\(f +kg=0\)において\(f\)という直線が加わって、式の形が変わっているからです。一方、\(f=0\)という直線は、\(f+0g=0\)と\(k=0\)のケースとして表されています。

これは冒頭に考えた、\(y=kx\)と似た状況です。この方程式によって多くの直線を表すことができますが、\(x=0\)という直線はどうやってもこの式では表現できていないのです。

2つの数を導入すれば、すべての直線が表せます。2直線の交点を通る方程式は、\(k,\ell\)を少なくとも一方が0でない数として、\(kf+\ell g=0\)と表せるのです。ただし\(k,\ell\)と2つの数があると問題を解くのに使いにくいので、とりあえず\( f+kg=0\)の形の直線を考えれば十分実用的だろう、ということなのでしょう。

問題の回答で述べるには、「\(k\)を何らかの数とすると、\(f(x,y)+k g(x,y)=0\)は2つの直線の交点を通る直線である」というのが適切ですね。とりあえずパラメーター\(k\)を導入して表せる直線についてまず考える。すると……という議論をすれば良いわけです。

 

さらにこの考え方を発展させた問題として、2つの直線でなく、円を考えることができます。\(f,g\)を円を定める式として、\(k\)を何らかの数として、

\[f(x,y)+kg(x,y)=0\]

を考えると、2つの円の共通点、交点を通る図形の方程式となります。

 

以上、2直線の交点を通る直線をなぜkを使って表すかにっついて、具体例を交えながら紹介してきました。

\(k\)を使うことで、ある点を通る様々な直線をひとつの式で表すことができます。

もちろん\(k\)を使わずに、地道に交点を求めて、2つの点を通る直線の式を求めるのも良いと思います。

ただし、\(f(x,y)+kg(x,y)=0\)が2つの図形の共通する点を通る方程式に見えると、より発展的な問題が解きやすくなるでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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