どうも、木村（@kimu3_slime）です。
日常的に見かける数が素数かどうか判定するときに、まず3の倍数かどうかチェックするのは基本です。それは簡単に確かめられます。
今回は、3の倍数かどうかの判定法、各桁の和が3の倍数となるか、という条件について紹介、証明します。
3の倍数の判定法を試す
判定法は次の通り。
\(x\)の各桁の数の和が3の倍数ならば、\(x\)は3の倍数である。（逆も成り立つ）
具体的に試してみましょう。
\(42\)の各桁の数の和は、\(4+2=6\)で3の倍数なので、判定法が正しいならば3の倍数です。そして確かに、3の倍数\(42 =3 \times 14\)です。
\(516\)の各桁の数の和は、\(5+1+6=12\)で3の倍数です。そして、\(516=3\times 172\)で、確かに3の倍数です。
\(1630\)の各桁の数の和は、\(1+6+3+0=10\)で3の倍数ではありません。そして、\(1630=3\times543+1\)で3の倍数ではありません。
各桁の数の和を計算して、それが3の倍数かどうかチェックする。それによって元の数が3の倍数か判定できる。簡単な方法ですね。
3の倍数の判定法の証明
では、この判定法が正しいことを証明してみましょう。
\(x\)の各桁の数の和が3の倍数ならば、\(x\)は3の倍数である。（逆も成り立つ）
まずは具体例を通して、そのメカニズムを考えます。
\(516 =500 +10+6\)と、各桁ごとに分解してみます。\(6\)は3の倍数なので、残りが3の倍数かどうか判定したいです。
\(500,10\)はそれぞれ3の倍数ではありません。しかし、それを合わせた\(500+10\)は3の倍数です。ここを分析しましょう。\(10=3\times 3 +1,100=3\times 33 +1\)です。したがって、
\[ \begin{aligned} 500+10&=5\times (3\times 33+1)+1\times (3\times 3 +1) \\ &=3\times (5\times 33+1\times 3) +5+1\end{aligned} \]
1つ目の項は当然3の倍数であり、余った\(5+1\)が3の倍数なので、全体として3の倍数です。よって、3の倍数同士の和は3の倍数なので、\(516\)は3の倍数とわかりました。
逆に、ここで登場した余りが3の倍数でなければ、全体として3の倍数でないこともわかりますね。
一般的に議論しましょう。\(x\)を任意に与えられた整数とします。10進法で表せば、
\[ \begin{aligned} x&= x_{\ell} \times10^{\ell}+x_{\ell-1}\times 10^{\ell -1}+\cdots+x_{1}\times10^1+x_{0}\\ &= \sum _{k=0}^{\ell} x_{k} 10^{k}\ \end{aligned} \]
と表せます。\(10^k\)は\(10\)を\(k\)回かけた数、1の後に0が\(k\)個並んだ数を表し、\(x_k\)は\(k\)番目の位の数を表します。\(\sum\)は和を一般的に表すための記号です。ここで、
\[ \begin{aligned} 10^{k}&= 9\times (10^{k-1}+\cdots+10+1) +1\\ &=3\times 3\times\sum_{m=0}^{k-1}10^{m}+1 \end{aligned} \]
と分解できます。したがって、分配法則によって
\[ \begin{aligned} x &= \sum _{k=0}^{\ell} x_{k} 10^{k} \\&= \sum _{k=0}^{\ell} (x_{k} (3\times 3\times\sum_{m=0}^{k-1}10^{m}+1 ))\\ &=3\times \sum _{k=0}^{\ell} (x_{k} ( 3\times\sum_{m=0}^{k-1}10^{m}))+\sum _{k=0}^{\ell} x_{k}\ \end{aligned} \]
となります。最初の項は3の倍数です。
もし第2項\(\sum _{k=0}^{\ell} x_{k}\)、すなわち各桁の数の和が3の倍数ならば、合計\(x\)は3の倍数となります。
逆に、\(x\)が3の倍数ならば、各桁の数の和も3の倍数でなければなりません（そうでなければ矛盾する）。
以上によって、3の倍数の判定法が証明できました。
今回は、3の倍数の判定法を具体例、その証明を紹介してきました。
\(10,100\)を3で割ると必ず1余るので、各桁の数分だけ余りが出てきます。各桁の数の和が3の倍数ならば、余りが3の倍数となって割り切れるわけですね。
ぜひ、日常生活で見かけた数が、3の倍数かどうか判定してみてください。
木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。
すばる舎 (2016-04-21T00:00:00.000Z)
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