双曲線関数をなぜ学ぶか? 懸垂線、微分と積分の性質

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

高校数学の微分積分では扱わないけれども、大学数学で扱う関数として、双曲線関数\(\cosh ,\sinh ,\tanh \)があります。

今回は、双曲線関数の一種は懸垂線であること、微分と積分の性質を紹介します。

 

懸垂線としての双曲線関数

\[\cosh x := \frac{e^x +e^{-x}}{2}\]

により定義される関数は、ハイパボリックコサイン(双曲線余弦関数)と呼ばれます。

そのグラフは、垂れ下がったひも・ケーブルがなす曲線、懸垂線(カテナリー)です。電柱の間をゆるく張られた電線が、このような形をしているのが見て取れるでしょう。

画像引用:Wolframalpha

懸垂線は放物線と似ていますが、中心付近の接線の傾きは、懸垂線のほうがゆるやかです。

 

懸垂線の式は、物理学・力学的に導かれます。

ひもには長さ~重さに応じた重力がかかっていて、それが端点での張る力(張力)と釣り合っているという式が立てられます。\(f(x)\)をそのひもの位置\(x\)における高さとして、そこから得られるのは、次のような微分方程式です。

\[\frac{d^2f}{dx^2}=\sqrt{1+(\frac{df}{dx})^2}\]

\(\cosh x\)がこの微分方程式を満たしていることを確かめてみましょう。

\[(\cosh x )^{\prime} = \frac{e^x – e^{-x}}{2}=: \sinh x\]

\[(\cosh x )^{\prime \prime} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}=\cosh x\]

\[1+ ((\cosh x )^{\prime})^2 = 1+\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=(\cosh x)^2\]

なので、微分方程式を満たすことが確かめられました。

逆に、\(f(0)=1,f^{\prime}(0)=0\)を満たす微分方程式の解は、必ず\(f(x)=\cosh x\)となることが知られています。

(\(\cosh x\)は、ひもの位置エネルギーを最小にする関数として、変分問題の解としても求められます)

 

双曲線関数の微分

懸垂線だけでなく、次のように定義されるのが双曲線関数です。

\(\sinh x =\frac{e^x – e^{-x}}{2},\cosh =\frac{e^x +e^{-x}}{2},\tanh x= \frac{\sinh x}{\cosh x}\)

これらはハイパボリックサイン、ハイパボリックコサイン、ハイパボリックタンジェントと呼ばれます。三角関数\(\sin ,\cos , \tan\)に似たような名前と記法です。それは、双曲線関数が三角関数に似た性質を持っているからです。

\[(\cosh x)^2 – (\sinh x)^2 =1\]

\[\sinh (\alpha +\beta )=\sinh \alpha \cosh \beta +\cosh \alpha \sinh \beta\]

\[\cosh (\alpha +\beta )=\cosh \alpha \cosh \beta -\sinh \alpha \sinh \beta\]

\(x^2-y^2 =1\)が双曲線の方程式で、\(\cosh x,\sinh x\)がその関係式を満たすので、双曲線関数と呼ばれるわけですね。

さらには、微分についても良い性質を持ちます。

\[(\cosh x)^{\prime} = \sinh x, (\sinh x)^{\prime}=\cosh x,(\tanh x)^{\prime}=\frac{1}{(\cosh x)^2}\]

これだけ三角関数と似た性質を持っていれば、類似の記法を採用するのも納得です(笑)。

 

積分計算への応用

双曲線関数の性質を知っていれば、懸垂線の長さを求めるのは簡単です。

一般に、\(f(x)\)で表される曲線の長さは\(L= \int \sqrt{1+(f^{\prime}(x))^2}dx \)で表されます。

\(f(x)= \cosh x\)とするとき、\(f\)は微分方程式\(\frac{d^2f}{dx^2}=\sqrt{1+(\frac{df}{dx})^2}\)を満たし、また2回微分は\(f^{\prime \prime}(x) =\cosh x\)でした。したがって、

\[ \begin{eqnarray}L &=& \int _0 ^a \sqrt{1+((\cosh x)^{\prime})^2} dx\\ &=& \int_0 ^a (\cosh x)^{\prime \prime} dx\\ &=& \int_0 ^a \cosh x dx \\ &=& [\sinh x]^a _0 \\ &=& \sinh a \end{eqnarray}\]

となります。

 

さらには、双曲線関数は微分について良い性質を持っているので、その逆関数もまた微分が簡単な形になります。

参考:逆三角関数をなぜ学ぶか? その微分と積分計算への応用

双曲線関数の(適切な範囲における)逆関数を、\(\mathrm{arcsinh}\, x, \mathrm{arccosh}\, x, \mathrm{arctanh}\, x\)と表しましょう。すると、

\[(\mathrm{arcsinh}\, x)^{\prime} =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\]

\[(\mathrm{arccosh}\, x)^{\prime} =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\]

\[(\mathrm{arctanh}\, x)^{\prime} =\frac{1}{1-x^2}\]

が成り立ちます。これを使えば、次のような積分が計算できるわけです。

\[\int _0 ^x\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\mathrm{arcsinh}\, x\]

特に、逆三角関数と違って、ハイパボリックサインの逆関数は、明示的な式が求められます(\(y = \cosh x\)を、変数変換して\(x\)について解けば良い。)

\[\mathrm{arcsinh}\, x= \log (x +\sqrt{x^2+1})\]

また、\(\int _0 ^x\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)のような積分も、\(x=\sinh t\)と置換することで計算できます。これは\(\int \sqrt{1-x^2}dx\)を(逆)三角関数で置換積分して計算できるのと似ていますね。

 

今回は、懸垂線としての\(\cosh \)、双曲線関数とその微分、積分計算への応用を紹介してきました。

三角関数が微積分に役立つのと同様に、三角関数に似た性質をもった双曲線関数もまた役立ちます。ぜひ、三角関数とセットで双曲線関数も学んでみてください。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

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