カオス現象のわかりやすい具体例を視覚的に見る

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

ほんのわずかな初期状態の差にもかかわらず、やがて大きな違いを引き起こす現象、カオス現象。

そんなカオス現象のわかりやすい具体例を、視覚的に紹介していきます。

カオスについての予備知識はこちら：カオス理論、バタフライ・エフェクトとは何か？ローレンツ・アトラクターを例に

カオス現象の具体例

カオス現象の具体例

二重振り子

最もわかりやすくカオスを起こしているのが観察できる例が、二重振り子（double pendulum）です。

これは、単振り子（天井から歪まない糸で吊るされた重りによる振り子）を2つつなげたものとして理解できます。

実際に振り子を作るときは、振り子の連結部分の摩擦が少なくなるようにしないと、減衰が起きて止まってしまいます。

同様に、3つ振り子をつなげたものが3重振り子です。

次のシミュレーション動画では、ほとんど同じような初期状態（振り子の位置）が、ある瞬間を境に、一気にバラバラになる現象が見て取れます。

先日のカオス振り子動画を見て極端な場合を試してみたくなったので、3重振り子で高精度物理演算してみた。初期の振り子の角度を10の100乗(グーゴル)分の1ずつだけずらしたものを100個同時に再生。完全に一致してるように見えるけど、1分20秒くらいから「それ」がやってくる。 pic.twitter.com/a7E2OASIDe
— So Takamoto (JK) (@tkmtSo) May 25, 2017

二重振り子は、物理的には、解析力学のラグランジュ方程式によって定式化されます。

振り子の振れ幅が小さいときは、微小振動近似によって固有振動を求めることができますが、振れ幅が大きいときはそうはいきません。

参考：解析力学講義 – 井上順一郎、二重振り子におけるカオス的振舞、二重振り子の精度保証付き数値計算 – kashiの日記

連続力学系

ローレンツ・アトラクター

カオスの視覚的なイメージといえば、ローレンツ・アトラクターが有名でしょう。

画像引用：Chaos7 Attracteurs étranges : L’effet papillon

気象学者のローレンツ（Lorenz）は、大気の変動モデルを研究するために、次の比較的単純なローレンツ方程式を考えました。

\[ \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = -ax +ay \\ \frac{dy}{dt} = -xz + bx -y \\ \frac{dz}{dt} = xy – cz \end{array} \right.\end{aligned} \]

例えば\(x,y,z\)の3成分を、気温、湿度、風の強さと考え、気象現象を表すとみなすことができます。

特定のパラメータのときに、実に複雑な気象現象が起こることを発見したローレンツは、それを「Deterministic Nonperiodic Flow（決定論的で非周期的な流れ）」という論文で発表しています。

上の画像に示されているように、あらゆる気象現象は、チョウチョの羽のような2つの輪っかへと引き込まれていきます。

アトラクター（attractor）とは、周囲の状態を引き寄せる集合のことです。

例えば、安定な不動点や安定なリミットサイクルは、点や閉曲線を描くものが多く、比較的単純なアトラクターです。

しかしながら、ローレンツ・アトラクターは、単純ではありません。

動画を見ればわかりますが、8の字を描きながらもループしているわけではなく、一方の輪ともう一方の輪を不規則に移動します。このような非周期性(nonperiodicity)は、カオスの特徴のひとつです。

参考：カオス理論、バタフライ・エフェクトとは何か？ローレンツ・アトラクターを例に