どうも、木村（@kimu3_slime）です。
ネットで大学数学の資料を調べているときに、次のようなフレーズに出会い、大学数学の講義への不満を思い出しました。
「○○は何に使いますか？」という学生の質問に対し、「○○は掛け算九九のようなもので、九九同様に何に使うのか気にせず覚えるもの」といった先生の回答です。
こうした発言により思い出した数学の講義への不満と、こうであったら良いなと思う改善案を考えていきたいと思います。特に教養数学の講義、線形代数学と微分積分の一年次の講義をイメージしています。
この記事はごく個人的な考えであり、すべての数学の講義が良くない、と言っているわけではありません。僕が感じた不満点、そして改善案の話です。
数学科目の傲慢さ
まずは、「○○は掛け算九九のようなもので、九九同様に何に使うのか気にせず覚えるもの」という教え方の批判から。
これは数学、というか基礎的な学問の講義で使われがちなフレーズです。汎用的なツールだから、覚えろ、と。
これは傲慢な考え方だと思います。人間が新しい物事を学ぶときには、学習コストがかかるのです。かけ算九九ならば、覚え方も用意されていますし、幼いときに教えられるので暗記もしやすいです。
しかし、大学以降で教えられるような内容は、暗記のようなやり方では覚えられないし、覚えるには時間がかかりすぎるでしょう。また、掛け算は日常的に様々な応用があるのを感じられますが、大学の数学はそうとは限りません。2年、3年の専門科目において、ようやく1年の数学が日常体験になっていくことは少なくありません。したがってこれは、数学科目だけの責任ではないのですが。
そして世の中には、数学以外にも基礎学問があります。数学科を志望する学生以外は、数学以外の基礎を身に着けながら、数学も身につけなければなりません。大学は自ら学ぶ場なのだから、その程度も身につけられない人はリタイアしろ、とまで言うならば、そういう立場があるのはわかりますが。
いくら数学が基礎科目だとしても、そして数学の研究者にとってそれが基礎であるとしても、それが理工学全般の基礎であるとしても、他の学問を学ぶ新入生にとって、基礎であるとは感じ取れないのではないでしょうか。
数学が理工学全般の基礎であることは、数学の講義からは、感じ取ることができませんでした。少なくとも、現状の数学の教科書やカリキュラムは、そういう作りになっていないと思います。僕はそれが不満なので、このサイトを作っているわけです……（笑）。
数学とその応用の切り分け
この話を進めると、「数学という学問は、現代科学においてどんな役割をもっているか？」という、学問の根幹に関わる話につながってきます。
「数学の授業では、数学的内容についてのみ教える。応用例は他の授業で学んできなさい」
この態度は、数学の授業として間違ってはいないと思います。しかし、応用例のひとつくらいはあげてしかるべきでは、とも思います。院生や研究者ならともかく、学部一年生は大学数学の「応用現場」を知りません。
それは数学の応用を、数学科目ではなく、他分野の科目へ転嫁する態度だと思います。教養数学は講義の時間数が足りないので、仕方ないのかもしれませんが。
他分野では、必要に応じて随時数学のことも教えています。だから、数学の講義内でも応用に多少は言及し、詳しく知りたい人は専門科目で学んできてくださいと言い、相互に教えれば良いだけの話だと思いますが。もし応用について知らないのならば、応用は知りません、あるいは調べるのが面倒です、この授業では扱えません、と正直に言えば良いだけです。
数学とその応用を切り分ける教え方からは、数学（という研究領域）は数学のことだけしていれば良い、という態度が感じられます。none of my business なのでしょうか。数学者は、数学的発見と理論の構築のみに携わり、数学の応用には立ち入らないものなのでしょうか。
デカルトが問題を分割して解くやり方を導入したことにより、分業によって人類は科学の知を育めるようになってきました（方法序説）。しかしながら現状の科学活動は、本来必要であった総合が欠けがちな側面があり、数学においてもそれが言えると思います。
数学の歴史を見れば、数学と理工学全般、他の分野が関わっているのは当然です。例えば僕の学生時代の専門であった微分方程式は、物理学はもちろん、生体のパターン形成などの生物学、工学の制御理論、挙げればキリがありませんが、相互に関係して発展してきたものです。
純粋数学（pure math）と応用数学（applied math）という言葉があります。僕はどちらも大事だと思っています。
そして、数学科の先生が教える一年次の授業は、純粋数学に寄りがちです。もちろん、数学独自の精緻な議論を学ぶことが、教養として数学を身につける一側面ですが、それと同時に、その議論を適切に応用として結び付けられることもまた、教養として大事なのではないでしょうか。
（もちろん、数学の研究者が他学部向けの数学の授業をするのは大変です。教育にそんな時間を割く余裕はないかもしれません。教養数学は別に担当を設けて余裕をもたせた方が良いかもしれません。これは大学の教育制度や資金といった、構造の問題になります）
数学をイメージでとらえようとするのは正しいか？
一方で、あまりに応用な観点で、日常的なイメージによって大学数学を理解すべきではない、という点は同意です。
大学の数学では、「日常感覚」を使うと間違った結論を導いてしまうケースが少なくありません。微積分の連続性の議論ではそういうことがよくわかります。高校までは連続な関数をもっぱら扱うため心配がありませんが、不連続な関数を含めて考えると慎重さが求められる。「常識的に考えて～」なんて議論は、数学では通用しません。
そうすると、論理のみによって数学を見て、定義から記号的な操作によって得られた結論のみ認める、という態度が求められます。これは、大学の数学を学ぶために、欠かせないものです。ぜひとも、教養数学として身につけられたら良い態度です。
一方でまた、無味乾燥な記号としてのみ数学を見るのだと教えることは、立場が偏りすぎていると思います。般若心経を、その意味を知らずに覚えることと変わりません。確かに覚えることによってその後に発見をしやすくする面はありますが、同時に意味を知っておいて損がないこともまた確かです。
イメージを放棄し、厳密な議論を重視する。多くの大学数学の教科書がこうなっています。これはブルバキスタイルと呼ばれるもので、教養数学で線形代数学や微積分が教えられるようになったのはそれが原因と言われています。
ブルバキズムは、現代数学の至るところに浸透していますし、それを教えるのは大学数学の一側面と言えるくらい重要とも考えています。
一方で、ブルバキスタイルで教えるならば、高校までの数学とは違うことを、きちんと説明してからやるべきではないでしょうか。準備なしにブルバキスタイルの授業をやって学生がついてこれなくなるのは、学生の勉強不足というよりは、むしろミスコミュニケーションだと思います。
ブルバキスタイルで教える前に、具体的な数学経験が必要
そもそも僕は、ブルバキスタイルで教える前に、具体的な数学経験が必要と考えています。
例えば大学の微積分では、実数論→極限の定義→連続・微分可能性→テイラー展開…と進む教科書や授業が主流です。しかしテイラー展開は、1700年台から発見されているアイデアであり、コーシーやワイエルシュトラスによる厳密な解析学が成立する以前から使われているものです。
高校数学を終えた学生が現代の数学に追いつくために、いきなり20世紀の数学を教えるのはスパルタすぎると思います。
微分論の重要点はテイラー展開にある。これは応用が幅広い。その基礎に平均値の定理、ロルの定理、最大値最小値の原理、実数論がありますよ……と遡っていけば、基礎的な議論の重要性もわかります。テイラー展開の正当性や、「任意の関数は三角関数に級数展開できる」というフーリエの主張に触れてからようやく、厳密な解析学の必要性がわかるようになるのではないでしょうか。
（イプシロンデルタを使った）実数論を一年次の最初から教えるのは、数学科の学生に対してはまだしも、他学科の学生に対して不適切ではないでしょうか。（イプシロンデルタを教えること、数学の理論を教えることは重要だとは思いますが、それは順序を踏まえてすべき、という立場です）
ブルバキスタイルは、人生2週目の人向けの数学だと思います。人生2週目で高校の頃から大学の数学に触れ続けて予習が済んでいる学生なら、ブルバキスタイルで問題ありませんが、多数の学生はそうではありません。厳密化される前の数学の問題点に触れなければ、厳密化のありがたみもわからないまま、「数学は難しいものだ」という印象だけ持って教養数学を終えてしまうでしょう。大学数学の豊かさや奥深さに触れられないのは、残念なことです。
数学の面白さにたどり着きやすくするために
大学数学の中には、面白い理論や結果がたくさんあります。
一方で、大学数学を学び始めるときにふれる線形代数学や微積分（の教科書、カリキュラム、講義）は、基礎でありながら、面白さへたどり着くための障壁となってしまっている印象があります。
数学（というか学問）は積み重ねなので、障壁はつきものです。しかし、ブルバキズムに適応することによる難しさやつまづきは、本質的なものではないと僕は考えています。なぜなら、それ以前から発展してた高度な数学はあるのですから。数学を専門とする学生ならば、ブルバキルートを通るのが当然とは思いますが、そうでない数学の学び方もあるのではないか。
そんなわけで、これからも「趣味の大学数学」を発展させていきたいと思うのでした。
木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。
