長さの小数倍の図示、求め方:基準はどれか考える

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、長さの小数倍の図示、求め方について、基準をどれか考えることを紹介します。

 

赤いテープと白いテープがあります。

赤いテープの長さは、120cmです。赤いテープの長さは、白いテープの長さの0.6倍です。

 

この状況を表す図を、次の選択肢からひとつ選びましょう。

 

また、白いテープの長さを計算によって求めましょう。

画像引用:平成24年度全国学力・学習状況調査

この問題は、平成24年度全国学力・学習状況調査、小学校算数A、問題3(1)です。正答率は34.3%となっています。

 

では、解説していきましょう。

「赤いテープの長さは、120cmです」と一文目に書かれているので、その情報が書かれている選択肢3、4のいずれかが正解と考えられます。

問題は「赤いテープの長さは、白いテープの長さの0.6倍」という文を読んで、赤いテープと白いテープ、どちらが長いか判断できるか、ということです。

 

小数倍で書かれているから、図的に想像しにくいのかもしれません。0.6倍ではなく、違う倍だったらどうでしょうか。

  • 赤いテープの長さは、白いテープの長さの2倍

のとき、どちらが長いでしょうか。赤いテープの長さは、白いテープの2つ分であり、赤いテープの方が長いです。

  • 赤いテープの長さは、白いテープの長さの1倍

のとき、どちらが長いでしょうか。赤いテープの長さは、白いテープの1つ分ということは、長さは同じです。

  • 赤いテープの長さは、白いテープの長さの0.5倍

のとき、どちらが長いでしょうか。0.5倍は、半分(\(\frac{1}{2}\)倍)と言い換えることができます。白いテープの長さの半分が赤いテープの長さに等しいということは、白いテープのほうが長くなくてはなりませんね。

共通して言えるのは、「白いテープの長さの~~倍」と基準を白いテープの長さにしていることです。白いテープの2倍は白いテープより長く、白いテープの1倍は同じ長さ、白いテープの0.5倍は白いテープより短い。1倍より大きいかどうかで状況が変わります。

白いテープを長さの基準1としたとき、赤いテープはその長さを0.6倍した、1より小さな数をかけた長さになる。どんな(正の)数も、0.6のように1より小さな数をかけると小さくなります。したがって、赤いテープの方が短いと言えます。

よって、白いテープを基準の1倍として、赤いテープが120cmで、赤いテープの方が短い状況を表している選択肢4の図が正しいことがわかりました。

 

白いテープの長さは、計算によって求めることができます。これには記号、文字\(x\)を使うと便利です。

赤いテープの長さは120cmと書かれていますが、白いテープの長さはは問題文からすぐにはわかりません。そこで白いテープの長さを\(x\)cmと一旦文字で表すことにしましょう。

すると、「赤いテープの長さは、白いテープの長さの0.6倍」という状況は、白いテープの長さ\(x\)に0.6をかけると、赤いテープの長さ120に等しいと言っているので、

\[0.6 \times x = 120\]

という等式が成り立ちます。両辺を10倍しても等式は成り立つので、

\[6 \times x = 1200\]

で、両辺を6で割っても等式は成り立つので、

\[ x = 200\]

と白いテープの長さを求めることができました。

\(0.6 \times x = 120\)という式から、直接両辺を0.6で割って、\(x=120 \div 0.6\)という計算によっても求めることができます。

 

小数倍の練習として、この問題を少し発展させましょう。

赤いテープは120cmで、白いテープは200cmです。このとき、白いテープは赤いテープの何倍の長さでしょうか。

まずは選択肢で予想してみましょう。

  • 1より小さい倍
  • 1倍
  • 1より大きい倍

「赤いテープの何倍」かと書かれているので、基準は赤いテープです。

1倍という選択肢はありえませんね。もし1倍ならば、赤いテープと白いテープは同じ長さになりますが、実際そうはなっていません。

1より小さい倍はどうでしょうか。例えば赤いテープの0.5倍の長さは何でしょうか。\(120 \times 0.5=60\)で、赤いテープより短くなります。これは白いテープの方が長い状況にマッチしません。

したがって、1より大きい倍と考えられます。より具体的には、

\[\frac{200}{120}= \frac{5}{3}=1.6\cdots\]

倍です。

一般に倍率\(x\)は、基準となる数を\(a\)、基準を使って測りたい数を\(b\)とするとき、

\[x=\frac{b}{a}\]

によって求められます。これを\(b= x \times a\)と表すと、\(a\)の\(x\)倍が\(b\)に等しいと読めますね。

 

以上、長さの小数倍の図示、求め方について、基準をどれか考えることを紹介してきました。

倍率や割合の問題では、測る基準としている長さや重さがどれかを意識するのが大事です。

小数倍がイメージしづらければ、まずは2倍や0.5倍といった想像しやすいケースを想像してみると、0.6倍といったより細かなケースも扱えるようになるでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

 

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