成長曲線と密度効果:マルサス・ロジスティックモデルによる説明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

高校生物では、成長曲線と密度効果について学び、次のような曲線を見るでしょう。

画像引用:高等学校生物/生物II/個体群と生物群集 – Wikibooks

これらの曲線は、数学的にどのように得られるのでしょうか。マルサス・ロジスティックモデルについて紹介します。

 

密度効果がない場合:マルサスモデル

密度効果がないとき、生物の個体数は際限なく倍々ゲームのように増えていきます。

この状況を説明するのが、マルサスモデルと呼ばれる微分方程式です。

生物の個体数を\(u(t)\)と時間の関数で表すとき、

\[\frac{du}{dt} =u\]

を満たすと考えるのがマルサスモデルです。これは、生物の増殖率は、個体数が増えれば大きくなるという考え方ですね。この方程式の解は、指数関数

\[u(t) = u_0 e^{t}\]

となります。これは指数関数的成長とも呼ばれます。

 

密度効果がある場合:ロジスティックモデル

マルサスモデルでは、際限なく個体数が増加します。

実際の生物の個体数増加では、急激に増加する時期はありますが、餌や生存場所などの限界があります。こうした環境による限界を組み込んだモデルが、ロジスティックモデルです。

 

\[ \begin{aligned}\frac{du}{dt}= ru(1 – \frac{u}{K})\end{aligned} \]

\(r, K>0\)がパラメータです。

\(r\)は、個体数が少ないときの指数的な増殖の速さを表すもので、内的自然増加率(intrinsic rate of natural increase)と呼ばれます。

一方、\(K\)は環境収容力(carrying capacity)と呼ばれ、値が大きいほど最終的に住める個体数が増えます。

マルサスモデルと比較すると、増加率\(u\)だったものが、\(u – u^2\)の形になっています。\(u\)が小さいときは\(u\)の効果によって増殖するのですが、\(-u^2\)によって大きくなりすぎないように歯止めがかかるわけです。

 

ロジスティック方程式の解は、

\[ \begin{aligned}u(t)= \frac{K}{1+ C e^{-rt}}\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}C = \frac{K}{u(0) } -1\end{aligned} \]

となります。

画像引用:WolframAlpha

このS字型の曲線は、ロジスティック曲線やシグモイド曲線と呼ばれます。

内的成長率\(r\)によらず、時間が経過すると、個体数は環境収容力\(K\)に収束します。

\[ \lim_{t \to \infty} u(t)= K \]

 

実際、ミジンコなどの微生物や小さな昆虫では、ロジスティック曲線に従った増え方をすることが知られています。

画像引用:巌佐 数理生物学入門―生物社会のダイナミックスを探る

 

以上、成長曲線と密度効果について、マルサス・ロジスティックモデルによる説明をしてきました。

成長曲線の理論的な背景として、指数関数や微分方程式があることを知ってもらえたら嬉しいです。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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