対称な確率密度関数を持つ累積分布関数の計算

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、対称な確率密度関数を持つ累積分布関数の計算

\[F(-c) = 1-F(c)\]

を紹介します。

連続確率分布があり、その確率密度関数\(f\)が\(x=0\)を軸として対称\(f(x)=f(-x)\)（偶関数）であったとしましょう。また、累積分布関数を

\[F(x)= \int_{-\infty}^x f(s)ds\]

とします。

このとき、実数\(c>0\)について

\[F(-c) = 1-F(c)\]

が成り立ちます。

積分区間を分けて計算すると、

\[\begin{aligned} F(-c)&= \int_{-\infty}^{-c} f(s)ds \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(s)ds -\int_{-c}^\infty f(s)ds\\&= 1 – \int_{c} ^{-\infty} (-f(-t) )dt \\&= 1- \int_{-\infty}^c f(-t)dt \\&= 1-\int_{-\infty} ^c f(t)dt \\&= 1- F(c)\end{aligned}\]

となるので。全区間での確率が1になる\(\int_{-\infty}^\infty f(s)ds =1\)のは、確率密度関数（または累積分布関数）の定義によるものです。

ちなみに、\(G(c):=1-F(c)\)は相補累積分布関数（CCDF; complementary cumulative distribution function）と呼ばれます。つまり、\(f\)が偶関数のとき、\(F(-c)\)は相補累積分布関数になると言い換えられるわけです。

この性質は、次のように言い換えることもできます。

\(f(x)=f(-x)\)のとき、\(\int_{-\infty}^0 f(x)dx= \int_{0}^\infty f(x)dx\)なので、\(2F(0)=1\)です。これを使えば、\(F(c)-F(0)=-(F(-c)-F(0))\)が成り立ちます。これは点\((0, F(0))\)に関してグラフが点対称（平行移動すれば奇関数）ということです。