どうも、木村（@kimu3_slime）です。
今回は、指数関数（一般のべき乗）の微分の公式
\[ \begin{aligned}\frac{d}{dx}a ^{x} = (\log_e a)a^x\end{aligned} \]
の覚え方、導出を紹介します。
べき乗関数の微分
\[ \begin{aligned}\frac{d}{dx }x^a = ax^{a-1}\end{aligned} \]
とは別物なので注意してください。
特殊なケース
まず重要なケースとして覚えておきたいのが、\(a=e\)（オイラー数、ネイピア数）のとき
\[ \begin{aligned}\frac{d}{dx} e^x =e^{x}\end{aligned} \]
という式です。微分について最も単純で基本的な規則と言えます。
対数関数の定義から、\(\log_e e= 1\)なので、
\[ \begin{aligned}\frac{d}{dx} e^{x} = (\log_e e)e^{x}\end{aligned} \]
と見てみると良いでしょう。これは一般的な指数関数の微分の公式と一致していますね。
そもそも、指数関数の底に\(e\)という数を使うのは、このような単純な式が導かれるからです。
詳しくは：なぜe（オイラー数）を学ぶ？ 指数関数、対数関数の微分を単純化
指数関数の定義
さて、一般的な指数関数の微分の覚え方ですが、簡単な方法はないでしょうか。
\[ \begin{aligned}\frac{d}{dx}a ^{x} = (\log_e a)a^x\end{aligned} \]
という形は、どうやって思い出せば良いでしょうか。
大事なのは、指数関数\(a^x\)の定義を知っておくことだと思います。\(x\)が自然数・整数のときは、単なる積を計算するだけですが、\(x\)は実数に対して定義されています。
\[ \begin{aligned}a^{x}:= e^{(\log_e a) x}\end{aligned} \]
です。自然指数関数、自然対数関数を既知として、この関数は定義できますね。
どうしてこの形で定義するのでしょうか。まず形式的に
\[ \begin{aligned}y=a^{x}\end{aligned} \]
と置いて、\(x\)を既知の関数で表せないか考えます。両辺の\(e\)を底とする対数（自然対数）を取りましょう。すると、
\[ \begin{aligned}\log_e y = \log _e a^{x} \end{aligned} \]
となりますが、両辺を\(\log _e a\)で割り、対数の底の変換公式が成り立つとすると、
\[ \begin{aligned}\frac{\log_e y}{ \log_e a} = \frac{\log _e a^{x} }{\log_e a} \\= \log _a a^x =x\end{aligned} \]
なので、
\[ \begin{aligned}\log_e y = (\log_e a)x\end{aligned} \]
で、両辺の指数関数を取れば
\[ \begin{aligned}y= e^{(\log_e a) x}\end{aligned} \]
という形が得られました。
合成関数の微分
指数関数の定義
\[ \begin{aligned}a^{x}:= e^{(\log_e a) x}\end{aligned} \]
がわかっていれば、合成関数の微分
\[ \begin{aligned}\frac{d}{dx}(g(f(x)))= \frac{dg}{dx}(f(x)) \frac{df}{dx}(x)\end{aligned} \]
を使って、指数関数の微分の式が導出できます。
つまり、\(g(x)=e^{x}\)、\(f(x)= (\log_e a)x\)と置くことで、\(a^{x} =g(f(x))\)と表せます。そこで合成関数の微分から、
\[ \begin{aligned}\frac{d}{dx}a^x = \frac{d}{dx}(g(f(x))) \\ = \frac{dg}{dx}(f(x)) \frac{df}{dx}(x) \\ =e^{f(x)}(\log_e a) \\ =(\log_e a) e^{(\log_e a)x} \\ =(\log_e a) a^{x}\end{aligned} \]
と導くことができました。
対数微分法
もうひとつの方法として、対数微分法によって導くことができます。
\[ \begin{aligned}y=e^{(\log_e a) x}\end{aligned} \]
と置いて、両辺の自然対数を取れば
\[ \begin{aligned}\log_e y = (\log_e a) x\end{aligned} \]
です。両辺を\(x\)について微分すると、
\[ \begin{aligned}\frac{y^{\prime}}{y} = \log_e a\end{aligned} \]
なので、
\[ \begin{aligned}y^{\prime} = \frac{d}{dx} a^{x} \\ = (\log_e a) y = (\log_e a)a^{x}\end{aligned} \]
と導けます。
以上、指数関数の微分の公式の覚え方、導出を紹介してきました。
自然対数の微分を\(\frac{d}{dx}e^{x} =(\log_e e) e^{x}\)として見れると、一般的な形に検討はつけやすいかと思います。
きちんと導けるためには、指数関数の定義\(a^{x}:= e^{(\log_e a )x}\)を知っておくことです。それを知っていれば、合成関数の微分、対数微分法によって導けます。結果だけでなく、関連する内容や導出も知っておくと、より覚えやすくなるでしょう。
木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。
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