どうも、木村（@kimu3_slime）です。
高校の物理学では、運動量保存の法則を習うと思います。
運動している2つの物体\(A,B\)が衝突したとき、質量を\(m_A,m_B\)、衝突前の速度を\(v_A(t_1),v_B(t_1)\)、衝突後の速度を\(v_A(t_2),v_B(t_2)\)とすると、
\[ \begin{aligned}m_A v_A(t_1)+m_B v_B(t_1) = m_A v_A(t_2)+m_B v_B(t_2)\end{aligned} \]
この運動量保存の法則は、微積分を使って、ニュートンの運動法則（運動方程式）と作用・反作用の法則から導くことができます。今回はそれを紹介します。
前提知識：高校レベルの微積分。「運動」をイメージすればわかる、微分と積分入門
力学的エネルギー保存の法則を微積分で証明する
言葉の確認
まず、言葉の確認をしましょう。
物体の質量を\(m\)、時刻\(t\)における物体の位置を\(x(t)\)、すなわち時間の関数として表すことにします。このとき、速度と加速度、運動量
\[ \begin{aligned}v(t)= \frac{dx}{dt}(t),\quad a(t)= \frac{dv}{dt}(t)= \frac{d^2x}{dt^2}(t),p(t)=mv(t)\end{aligned} \]
と定義されるのでした。また、物体に加わる力を\(F(x,v,t)\)として、運動方程式は
\[ \begin{aligned}m a(t) = F(x,v,t)\end{aligned} \]
です。
1物体の運動量保存則
上で紹介した運動量保存則は、2体間の運動量保存則です。それを導くために、まず1つの物体でも運動量保存の法則が成立することを示しましょう。
運動量\(p=mv\)を使って運動方程式を書き換えると
\[ \begin{aligned} \frac{dp}{dt}(t) = F(x,v,t)\end{aligned} \]
です。両辺を、\(t\)について\(t_1\)から\(t_2\)まで積分すると、
\[ \begin{aligned}p(t_2)- p(t_1)= \int _{t_1}^{t_2 } \frac{dp}{dt}(t) =\int_{t_1}^{t_2} F(x,v,t) dt\end{aligned} \]
です。右辺は力積と呼ばれます。
ここで、外力が何も働かない、すなわち\(t_1 <t <t_2\)において\(F=0\)ならば、
\[ \begin{aligned}p(t_1)=p(t_2)\end{aligned} \]
で、運動量は保存されます。
2物体の運動量保存則
運動している2つの物体\(A,B\)が衝突したときを考えるので、衝突以外の力、外力は働いていないものとします。
そして、衝突によって\(A\)が\(B\)から受ける力を\(F_{AB}\)、\(B\)が\(A\)から受ける力を\(F_{BA}\)としましょう。
作用・反作用の法則により、\(F_{AB}=- F_{BA}\)です。
また、2物体の運動方程式は、\(p_A,p_B\)を使うと
\[ \begin{aligned}\frac{dp_A}{dt}=F_{AB},\frac{dp_B}{dt}=F_{BA}\end{aligned} \]
で、2本の式を足し合わせることによって
\[ \begin{aligned}\frac{dp_A}{dt}+\frac{dp_B}{dt}=0\end{aligned} \]
よって、両辺を\(t\)について\(t_1\)から\(t_2\)まで積分すると、
\[ \begin{aligned}p_A(t_1)+p_B(t_1) = p_A(t_2)+p_B(t_2)\end{aligned} \]
と、運動量保存の法則が証明できました。
運動方程式は、物体に力が働かない\(F=0\)のとき、運動量が保存されていることを述べています。
微積分のアイデアを使えば、それは簡単に示すことができますね。
木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。
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